9愛媛大学 2013年 数学 第9問解答・解説

(1) $A=(a,b,0),\ B=(0,t,z),\ C=(0,t,-z)$ とおく。条件より $$a^2+b^2=1,\qquad t^2+z^2=1.$$ $\triangle OAB$ は正三角形だから $AB=1$ である。よって $$1=AB^2=a^2+(b-t)^2+z^2=2-2bt,$$ したがって $\displaystyle bt=\frac12$、特に $t\ne0$ で $\displaystyle b=\frac{1}{2t}$ となる。$A$ が $y$ 軸上にないので $a\ne0$ であり、 $$\displaystyle a^2=1-b^2=1-\frac{1}{4t^2}>0$$ から $\displaystyle t^2>\frac14$。また $B,C$ が $y$ 軸上にないので $z\ne0$、よって $z^2=1-t^2>0$ から $t^2<1$。逆にこの範囲なら $a,z$ を非零実数に選べる。したがって $$\displaystyle -1<t<-\frac12\qquad\text{または}\qquad \frac12<t<1.$$

(2) $OB=OC=OA=1$ で $AB=AC=1$ だから、$\triangle OAB$ と $\triangle OAC$ の面積の和は $\displaystyle \frac{\sqrt3}{2}$。また $$\displaystyle [OBC]=\frac12\left|\overrightarrow{OB}\times\overrightarrow{OC}\right|=|tz|.$$ 辺 $BC$ の長さは $2|z|$、直線 $BC$ は $x=0,y=t$ なので $A$ からの距離は $$\sqrt{a^2+(b-t)^2}=\sqrt{1-2bt+t^2}=|t|.$$ よって $[ABC]=|tz|$ であり、表面積は $$\displaystyle S=\frac{\sqrt3}{2}+2|tz|=\frac{\sqrt3}{2}+2\sqrt{t^2(1-t^2)}.$$ $s=t^2$ とおくと $\displaystyle \frac14<s<1$ で、 $$\displaystyle s(1-s)=\frac14-\left(s-\frac12\right)^2\le\frac14.$$ 等号は $\displaystyle s=\frac12$ で実現するため、最大表面積は $\displaystyle 1+\frac{\sqrt3}{2}$。そのとき $\displaystyle t^2=z^2=a^2=b^2=\frac12$。

(3) 座標軸に関する反射は各軸の回転体積を保つので、$\displaystyle h=\frac1{\sqrt2}$ として $$O=(0,0,0),\quad A=(h,h,0),\quad B=(0,h,h),\quad C=(0,h,-h)$$ を代表にとる。

$x$ 軸に垂直な位置 $x\ (0\le x\le h)$ で切ると、$(y,z)$ 平面での断面は $(x,0),(h,h-x),(h,-h+x)$ を頂点とする三角形である。軸からの距離は最小 $x$、最大 $$R_x=\sqrt{h^2+(h-x)^2}$$ となり、その間の値をすべてとる。回転断面は内半径 $x$、外半径 $R_x$ の円環だから $$\displaystyle V_x=\pi\int_0^h\{h^2+(h-x)^2-x^2\}\,dx=\pi h^3=\frac{\pi}{2\sqrt2}.$$

$y$ 軸に垂直な位置 $y=s\ (0\le s\le h)$ の断面は、$(x,z)$ 平面で $(s,0),(0,s),(0,-s)$ を頂点とする三角形である。軸からの距離は $0$ から $s$ までなので、回転断面は半径 $s$ の円となる。したがって $$\displaystyle V_y=\pi\int_0^h s^2\,ds=\frac{\pi h^3}{3}=\frac{\pi}{6\sqrt2}.$$

$z$ 軸に垂直な正の位置 $z\ (0\le z\le h)$ の断面は、$(x,y)$ 平面で $(0,z),(0,h),(h-z,h)$ を頂点とする三角形である。軸からの距離は最小 $z$、最大 $$R_z=\sqrt{(h-z)^2+h^2}$$ となり、その間の値をすべてとる。正の側の回転断面はこの内外半径の円環で、負の側も対称だから $$\displaystyle V_z=2\pi\int_0^h\{(h-z)^2+h^2-z^2\}\,dz=2\pi h^3=\frac{\pi}{\sqrt2}.$$ 以上より $$\displaystyle V_x=\frac{\pi}{2\sqrt2},\qquad V_y=\frac{\pi}{6\sqrt2},\qquad V_z=\frac{\pi}{\sqrt2}.$$

注記：原本表紙では医学部は大問6〜10を解答する指定であり、本問は大問9。

座標と正三角形条件から $t$ の範囲を求める。表面積を $t^2$ の二次式で最大化し、最大時の代表四面体を選んで各座標軸に垂直な断面を円板・円環として積分する。