3岐阜大学 2013年 数学 第3問解答・解説

(1) まず9枚から使わない1枚を選ぶ。残る8枚をA、B、C、Dに2枚ずつ配る方法は $\displaystyle \frac{8!}{(2!)^4}$ 通りだから、全体は $$\displaystyle 9\frac{8!}{(2!)^4}=22680.$$

(2) 各人の2枚の和が奇数になるには、各組が奇数1枚・偶数1枚でなければならない。4枚ある偶数を全て使い、5枚の奇数から使う4枚を選ぶので、有利な場合は $$5\cdot4!\cdot4!=2880.$$ したがって確率は $2880/22680=8/63$。

(3) 共通の差を $d$ とし、差が $d$ のカード対を頂点 $1,\ldots,9$ 上の辺と見る。4組は互いにカードを共有しないので、該当する辺の4本マッチング数を数える。差 $d$ ごとに、残基類ごとの数列を作り、隣り合う数だけを結ぶと次のようになる。 $$\begin{array}{c|rrrrrr} d&1&2&3&4&5&6以上\\\hline 4本マッチング数&5&3&0&2&1&0 \end{array}$$ 例えば $d=1$ は長さ9の一直線上から隣接しない4辺を選ぶので $\displaystyle \binom54=5$ 通り、$d=2$ は長さ5と4の2列に分かれ、各列から2辺ずつ選ぶ3通り。$d=3$ は3列それぞれの最大マッチング数が1なので4組作れない。$d=4$ は3頂点の列から1辺を2通り選び、他の3つの2頂点列から各1辺を選ぶので2通り。$d=5$ は独立な4辺が1通りである。従って、互いに素な4組の作り方は $5+3+0+2+1=11$ 通り。これをA〜Dへ割り当てる方法は $4!$ 通りなので、有利な配り方は264通りであり、確率は $$\displaystyle \frac{264}{22680}=\frac{11}{945}.$$

カード分配は使用しないカードと各人のペアで数える。奇数和条件は奇偶の組合せに直す。同じ差の条件は、差dごとのグラフで4本の互いに端点を共有しない辺を選ぶ問題にし、dごとのマッチング数を合計する。