2岐阜大学 2013年 数学 第2問解答・解説

円 $C$ の方程式は $$(x-1)^2+y^2=4$$ である。

(1) 点 $P$ は $y$ 軸上にあるので $x=0$。したがって $1+y^2=4$ より $y=\pm\sqrt3$ であり、条件 $y<0$ から $$P=(0,-\sqrt3).$$

(2) $R=(x,y)$ とおくと、中点の条件から $Q=2R-P=(2x,2y+\sqrt3)$。$Q$ の座標を円 $C$ の方程式に代入すると $$(2x-1)^2+(2y+\sqrt3)^2=4,$$ すなわち $$\displaystyle \left(x-\frac12\right)^2+\left(y+\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=1.$$ 除外された $Q=P$ に対応するのは $R=P$ だから、この点を除く。

(3) $S$ が線分 $PQ$ を $k:1$ に外分するので $$\displaystyle S=\frac{kQ-P}{k-1}\qquad(k>0,\ k\ne1).$$ これは $Q$ に関する相似変換である。円 $C$ の中心 $(1,0)$ は $$\displaystyle \frac{k(1,0)-P}{k-1}=\left(\frac{k}{k-1},\frac{\sqrt3}{k-1}\right)$$ に移り、半径は $2k/|k-1|$ となる。よって軌跡は $$\displaystyle \left(x-\frac{k}{k-1}\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt3}{k-1}\right)^2 =\frac{4k^2}{(k-1)^2}.$$ $Q=P$ は動く点から除かれているので、その像 $S=P=(0,-\sqrt3)$ も除く。

(4) $k=3$ の軌跡は $$\displaystyle \left(x-\frac32\right)^2+\left(y-\frac{\sqrt3}{2}\right)^2=9.$$ 直線上では $\displaystyle y-\frac{\sqrt3}{2}=x+a$ だから、円の式に代入すると $$\displaystyle 2x^2+(2a-3)x+a^2-\frac{27}{4}=0.$$ 実数解をもつ条件は判別式が非負であることなので $$\displaystyle \Delta=(2a-3)^2-8\left(a^2-\frac{27}{4}\right) =-4a^2-12a+63\ge0.$$ 従って $$\displaystyle -\frac32-3\sqrt2\le a\le-\frac32+3\sqrt2.$$ ただし軌跡から $P$ は除外されている。直線が $P$ を通るのは $a=-3\sqrt3/2$ のときで、この値は上の範囲の内点であり、$\Delta=36+18\sqrt3>0$ だから交点は2点ある。除外点以外の交点も残る。範囲の端点は接する場合だが、その直線は $P$ を通らないので両端を含む。

円周上の点Qに対する中点・外分点の位置を求め、それぞれの軌跡となる円と除外点を調べる。最後は円に直線を代入して判別式を用い、除外点を通る場合も残る交点があることを確認する。