1岐阜大学 2013年 数学 第1問解答・解説

放物線と直線の交点は$x^2-2ax=bx$、すなわち$x(x-(2a+b))=0$を満たす。$a,b>0$より非零解から$A=(2a+b,b(2a+b))$。頂点は$B=(a,-a^2)$。 $k=2a+b$とおく。(2)で$m_{OA}=b$、$m_{OB}=-a$だから、$O$で直角となる条件は$ab=1$。$A$では$m_{AO}=b>0$、$m_{AB}=(bk+a^2)/(a+b)>0$なので直角にならない。$B$では$m_{BO}=-a$、$m_{BA}=(bk+a^2)/(a+b)$。よって$a(bk+a^2)=a+b$。$k=2a+b$を代入すると$a(a+b)^2=a+b$となり、$a+b>0$より$a(a+b)=1$。 (3)で$a=b$なら$A=(3a,3a^2)$、$B=(a,-a^2)$。辺の長さは$|OA|=3a\sqrt{1+a^2}$、$|OB|=a\sqrt{1+a^2}$、$|AB|=2a\sqrt{1+4a^2}$。余弦定理より$\cos\angle AOB=(|OA|^2+|OB|^2-|AB|^2)/(2|OA||OB|)=(1-a^2)/(1+a^2)$。 (4)の面積は座標を用いた三角形の面積公式から$\displaystyle \frac12|3a(-a^2)-3a^2(a)|=3a^3$。