III慶應義塾大学 2012年 数学 第III問解答・解説

(1) 放物線 $y=x^2$ の接線の傾きは $2x$ なので、$P(-1,1)$ における法線の傾きは $1/2$。法線は $$\displaystyle y-1=\frac12(x+1).$$ これと $y=x^2$ の交点を求めると $2x^2-x-3=0$、すなわち $(x+1)(2x-3)=0$。$P$ と異なる交点は $Q=(3/2,9/4)$。

(2) $\overrightarrow{PQ}=(5/2,5/4)$、直線 $l_1$ の方向ベクトルを $(1,t)$ とする。$R$ は $Q$ から $l_1$ に下ろした垂線の足だから、$\angle PRQ=90^\circ$。したがって $$\displaystyle PQ^2=\left(\frac52\right)^2+\left(\frac54\right)^2=\frac{125}{16},\qquad [\triangle PQR]=\frac{PR\cdot QR}{2}\leq\frac{PR^2+QR^2}{4}=\frac{125}{64}.$$ 等号は $PR=QR$ のときに限る。$l_2$ の方向ベクトルは $(-t,1)$ なので、$PR,QR$ はそれぞれ $\overrightarrow{PQ}$ の $(1,t)$、$(-t,1)$ 方向への成分の長さである。よって $$\displaystyle PR=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot(1,t)|}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{5|t+2|}{4\sqrt{1+t^2}},\qquad QR=\frac{|\overrightarrow{PQ}\cdot(-t,1)|}{\sqrt{1+t^2}}=\frac{5|2t-1|}{4\sqrt{1+t^2}}.$$ 等号条件は $|t+2|=|2t-1|$ であり、$t=-1/3,3$。これらは $R=P$ となる $t=-2$、$R=Q$ となる $t=1/2$ ではない。したがって面積の最大値は $125/64$。

(3) $T=(u,u^2)$ とすると $$\displaystyle \overrightarrow{TP}\cdot\overrightarrow{TQ}=(-1-u)\left(\frac32-u\right)+(1-u^2)\left(\frac94-u^2\right)=\frac{(u+1)^2(2u-1)(2u-3)}4.$$ $T$ は $P,Q$ と異なるので $u\ne-1,3/2$。この積が負となるのは $1/2<u<3/2$ のときである。

(4) $l_1$ 上の点を $P+s(1,t)$、$l_2$ 上の点を $Q+\lambda(-t,1)$ とおく。交点条件から $$\displaystyle s=\frac{5(t+2)}{4(1+t^2)},\qquad R=\left(\frac{-4t^2+5t+6}{4(t^2+1)},\frac{9t^2+10t+4}{4(t^2+1)}\right).$$ 分母は常に正であり、整理すると $$\displaystyle x_R^2-y_R=-\frac{5(t+2)^2(4t^2-1)}{16(t^2+1)^2}.$$ したがって $y_R<x_R^2$ となるのは $4t^2-1<0$、すなわち $-1/2<t<1/2$ のときである。