IV慶應義塾大学 2012年 数学 第IV問解答・解説

(1) 固定した $x$ で切った断面を回転させると、半径が上下の境界に対応する円環となる。まず $\beta<\pi/2$ とする。$0\le x\le R\cos\beta$ では円環の内外半径は $x\tan\alpha,x\tan\beta$、$R\cos\beta\le x\le R\cos\alpha$ では $x\tan\alpha,\sqrt{R^2-x^2}$ である。したがって $$\displaystyle T=\pi\int_0^{R\cos\beta}x^2(\tan^2\beta-\tan^2\alpha)\,dx+\pi\int_{R\cos\beta}^{R\cos\alpha}(R^2-x^2\sec^2\alpha)\,dx.$$ 積分して整理すると $$\displaystyle T=\frac{2\pi R^3}{3}(\cos\alpha-\cos\beta).$$ 端点 $\beta=\pi/2$ では第一の区間がなく、$\displaystyle T=\pi\int_0^{R\cos\alpha}(R^2-x^2\sec^2\alpha)\,dx=\frac{2\pi R^3}{3}\cos\alpha$ となり、同じ式を得る。

(2) 角度を $\theta$ から $\theta+d\theta$ までとする細い部分を回転させると、(1)で $\beta=\theta+d\theta$、$\alpha=\theta$、半径 $R=f(\theta)$ とした体積の微小分が得られる。$f$ の連続性により、これを角度について足し合わせると $$\displaystyle V(\alpha)=\frac{2\pi}{3}\int_0^\alpha f(\theta)^3\sin\theta\,d\theta.$$ よって微積分の基本定理から $$\displaystyle \frac{dV}{d\alpha}=\frac{2\pi}{3}f(\alpha)^3\sin\alpha.$$ また $V(0)=0$ なので、上の積分式が求める $V(\alpha)$ である。 直線 $l$ を新しい正の $x$ 軸とみなすと、元の角 $\theta$ は新しい角 $\phi=\alpha-\theta$ に対応する。したがって同じ公式を用い、変数を戻すと $$\displaystyle W(\alpha)=\frac{2\pi}{3}\int_0^\alpha f(\theta)^3\sin(\alpha-\theta)\,d\theta.$$

(3) $f(\theta)^3=\cos\theta$ だから $$\displaystyle V\left(\frac\pi4\right)=\frac{2\pi}{3}\int_0^{\pi/4}\sin\theta\cos\theta\,d\theta=\frac{\pi}{6}.$$ また $$\displaystyle \begin{aligned} \int_0^{\pi/4}\cos\theta\sin\left(\frac\pi4-\theta\right)d\theta &=\frac{\sqrt2}{2}\int_0^{\pi/4}(\cos^2\theta-\sin\theta\cos\theta)\,d\theta\\ &=\frac{\sqrt2}{2}\left(\frac\pi8+\frac14-\frac14\right)=\frac{\pi\sqrt2}{16}. \end{aligned}$$ よって $\displaystyle W(\pi/4)=\frac{2\pi}{3}\cdot\frac{\pi\sqrt2}{16}=\frac{\pi^2\sqrt2}{24}$。