群馬大学 2011年数学第1問解答・解説

三角関数微分法積分法

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1問題

群馬大学2011年度第1問

関数 $f(x)=3\sin x-\sin3x$ ( $0\leq x\leq\pi$ ) について, 次の問いに答えよ。

(1) $f(x)$ のグラフは直線 $\displaystyle x=\frac{\pi}{2}$ に関して対称になることを示せ。

(2) 0 < x < π のとき, $f(x)$ の極値を求めよ。

(3) 曲線 $y = f(x) (0 \leq x \leq \pi)$ と $x$ 軸で囲まれた部分を, $x$ 軸のまわりに1回転させてできる立体の体積を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2解答

解答を見る答えはこの解答の中にあります

(1) 三倍角公式より $f(x)=4\sin^3x$ 。従って $f(\pi-x)=f(x)$ であり，グラフは $x=\pi/2$ に関して対称。 (2) $f'(x)=12\sin^2x\cos x$ 。 $0<x<\pi/2$ で正， $\pi/2<x<\pi$ で負なので，極大値は $f(\pi/2)=4$ ，極小値はない。 (3) 回転断面の面積は $\pi f(x)^2$ 。倍角公式を繰り返すと $\displaystyle \sin^6x=\frac{10-15\cos2x+6\cos4x-\cos6x}{32}.$ 余弦の各項の0から $\pi$ の積分は0なので $\displaystyle V=16\pi\int_0^\pi\sin^6x\,dx=16\pi\cdot\frac{5\pi}{16}=5\pi^2.$

この問題で使う考え方

三角関数の加法定理
三角関数の相互関係
三角関数の微分
合成関数の微分
極大・極小
三角・指数・対数関数等の積分
定積分による体積
二倍角の公式

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