3群馬大学 2011年 数学 第3問解答・解説

$P=(t,p)$, $p=t/2-1/4$ とする。放物線上の接点の $x$ 座標を $u$ とすれば接線は $y=2ux-u^2$。これが $P$ を通る条件は $u^2-2tu+p=0$。その判別式は $$\displaystyle 4(t^2-p)=4D,\qquad D=t^2-\frac t2+\frac14=\left(t-\frac14\right)^2+\frac3{16}>0.$$ 接点を $u=t+\sqrt D$, $v=t-\sqrt D$ とする。接線上の差から $$\overrightarrow{PQ}=\sqrt D(1,2u),\qquad \overrightarrow{PR}=-\sqrt D(1,2v).$$ また $uv=p$ なので $$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{PR}=-D(1+4p)=-2tD,\qquad |\det(\overrightarrow{PQ},\overrightarrow{PR})|=4D^{3/2}.$$ 従って $t\ne0$ では $\tan\theta=-2\sqrt D/t$。$t<0$ は鋭角、$t=0$ は直角で、いずれも $2\pi/3$ を越えない。$t>0$ では角は鈍角であり、$s=|\tan\theta|=2\sqrt D/t$ とおくと $$\displaystyle s^2=\frac{4D}{t^2}=\left(\frac1t-1\right)^2+3\ge3,$$ 等号は $t=1$。鈍角の余角側 $\pi-\theta$ は鋭角で正接 $s$ をもつため、$s$ 最小時に $\theta$ 最大。$s=\sqrt3$ なら $\pi-\theta=\pi/3$ なので最大角は $2\pi/3$。このとき $P=(1,1/4)$。

$\displaystyle P=(t,\frac t2-\frac14)$から放物線 $y=x^2$へ引く接線の接点は$u=t\pm\sqrt D$、$\displaystyle D=t^2-\frac t2+\frac14>0$。$\displaystyle \tan\theta=-\frac{2\sqrt D}{t}$ $(t\ne0)$。$t=1$で$\displaystyle \text{鈍角 }\theta\text{ が最大 }\frac{2\pi}{3}$、$\displaystyle P=(1,\frac14)$。