4群馬大学 2011年 数学 第4問解答・解説

$S=\ell+m+n$ とおく。仮定より $\ell,m,n>0$ なので $S>0$ である。

(1) $$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AB},\qquad \overrightarrow{CP}=\overrightarrow{AP}-\overrightarrow{AC}.$$ これらを $\ell\overrightarrow{AP}+m\overrightarrow{BP}+n\overrightarrow{CP}=\overrightarrow0$ に代入すると $$S\overrightarrow{AP}=m\overrightarrow{AB}+n\overrightarrow{AC}.$$ 従って $$\displaystyle \boxed{\overrightarrow{AP}=\frac{m}{S}\overrightarrow{AB}+\frac{n}{S}\overrightarrow{AC}}.$$

(2) $\lambda=m/S$、$\mu=n/S$ とおくと、(1) は $$\displaystyle \overrightarrow{AP}=\lambda\overrightarrow{AB}+\mu\overrightarrow{AC},\qquad 1-\lambda-\mu=\frac{\ell}{S}.$$ 三角形 $ABP$ と $ABC$ は底辺 $AB$ を共有し、$P$ の高さは $C$ の高さの $\mu$ 倍なので $$\displaystyle [\triangle ABP]=\mu[\triangle ABC]=\frac{n}{S}.$$ 同じく、底辺 $AC$ に対する $P$ の高さは $B$ の高さの $\lambda$ 倍だから $$\displaystyle [\triangle CAP]=\lambda[\triangle ABC]=\frac{m}{S}.$$ $P$ は三角形の内部にあり、三つの小三角形の面積の和は $[\triangle ABC]=1$ である。よって $$\displaystyle [\triangle BCP]=1-\frac{n}{S}-\frac{m}{S}=\frac{\ell}{S}.$$ したがって $$\displaystyle \boxed{[\triangle BCP]=\frac{\ell}{\ell+m+n},\quad [\triangle CAP]=\frac{m}{\ell+m+n},\quad [\triangle ABP]=\frac{n}{\ell+m+n}}.$$

S=ℓ+m+nとおく。BP=AP−AB、CP=AP−ACを条件に代入するとS AP=m AB+n ACとなり、AP=(m/S)AB+(n/S)AC。(2) λ=m/S、μ=n/SとおけばPの位置はAからAB方向へλ、AC方向へμだけ進んだ点で、1−λ−μ=ℓ/S。△ABPは底辺ABを共有し、Pの高さはCの高さのμ倍だから面積はμ。△CAPは底辺ACを共有し、高さ比はλだから面積はλ。残る△BCPの面積は全体から引いて1−λ−μ=ℓ/S。