2群馬大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) 直線 $\ell$ の方向単位ベクトルは $(\cos\theta,\sin\theta)$ である。点 $A,B$ の $\ell$ 上への射影の距離はそれぞれ $OG=2\cos\theta$、$OH=\sin\theta$ だから $$GH=|2\cos\theta-\sin\theta|.$$ $GH=0$ より $\tan\alpha=2$。

(2)(3) 垂線の長さは $AG=2\sin\theta$、$HB=\cos\theta$ なので $$L=2\sin\theta+|2\cos\theta-\sin\theta|+\cos\theta.$$ $t=\tan\theta$ とすると、$0\leq t\leq2$ では $L=(t+3)/\sqrt{1+t^2}$、$2\leq t<\infty$ では $L=(3t-1)/\sqrt{1+t^2}$ である。端点 $\theta=\pi/2$ では $L=3$。 $$\displaystyle \begin{aligned} 0\leq t\leq2:\quad L^2-5&=\frac{-2(2t+1)(t-2)}{1+t^2}\geq0,\\ t\geq2:\quad L^2-5&=\frac{2(2t+1)(t-2)}{1+t^2}\geq0. \end{aligned}$$ したがって最小値は $t=2$ のときの $\sqrt5$。 また $$\displaystyle 0\leq t\leq2:\quad 10-L^2=\frac{(3t-1)^2}{1+t^2}\geq0,$$ 等号は $t=1/3$ で成り立つ。一方 $t\geq2$ では $$\displaystyle 9-L^2=\frac{6t+8}{1+t^2}>0,$$ また $\theta=\pi/2$ で $L=3<\sqrt{10}$。ゆえに最大値は $t=1/3$ のときの $\sqrt{10}$。

垂線の長さと直線上の射影間の距離を三角比で表す。足の順序が変わるtanθ=2で場合分けし、平方差を因数分解して上下界と等号条件を同時に確かめる。tanθが定義されない垂直端も別に確認する。