3東京大学 2002年 数学 第3問解答・解説

$P=(x,y,z)$、$\mathbf p=OP$、$r=|\mathbf p|>1$。直径OPの球面上の点Xは $X\cdot(X-\mathbf p)=0$。またSは原点中心・半径1だから $|X|^2=1$。両式より円を含む平面Lは $\mathbf p\cdot X=1$。点からこの平面への距離を使うと $$\displaystyle PQ=\frac{r^2-1}{r},\qquad AR=\frac{|z+1|}{r}.$$ 従って条件は $r^2-1\le|z+1|$。$z<-1$なら $r^2\le -z$ が必要だが $r^2\ge z^2$ から $z^2\le -z$、すなわち$z(z+1)\leq0$となり矛盾する。$z=-1$も$r>1$に反する。よって$z>-1$で、条件は $$x^2+y^2+z^2\le z+2 \quad\text{であるための必要十分条件は}\quad x^2+y^2+(z-1/2)^2\le9/4.$$ さらにPはSの外側なので $x^2+y^2+z^2>1$。したがってVは中心$\displaystyle (0,0,\frac12)$、半径$\displaystyle \frac32$の球から原点中心・半径1の球内部を除く領域である。後者は前者の内側に含まれるので $$\displaystyle \operatorname{Vol}(V)=\frac43\pi\left((3/2)^3-1\right)=\frac{19\pi}{6}<\frac{209}{21}<10,$$ ここでは $\pi<22/7$ を用いた。