東京大学 2002年数学第1問解答・解説

二次関数三角関数

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1問題

東京大学2002年度第1問

2つの放物線 y = 2√3 (x − cos θ)^2 + sin θ、y = −2√3 (x + cos θ)^2 − sin θ が相異なる2点で交わるような一般角θの範囲を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

$\displaystyle \frac{4\pi}{3}+2k\pi<\theta<\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad(k\in\mathbb{Z})$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

$s=\sin\theta,\ c=\cos\theta$ とおく。2つの放物線の交点の $x$ 座標は $2\sqrt3(x-c)^2+s=-2\sqrt3(x+c)^2-s$ を満たす。整理すると $\displaystyle 4\sqrt3x^2+4\sqrt3c^2+2s=0,\qquad x^2=-c^2-\frac{s}{2\sqrt3}.$ 相異なる2点で交わるための必要十分条件は、右辺が正であることだから $\displaystyle -c^2-\frac{s}{2\sqrt3}>0\text{すなわち} s+2\sqrt3c^2<0.$ $c^2=1-s^2$ より $2\sqrt3s^2-s-2\sqrt3>0.$ この二次式の根は $\displaystyle -\frac{\sqrt3}{2},\frac{2}{\sqrt3}$ であり、 $-1\le s\le1$ を考えると $\displaystyle s<-\frac{\sqrt3}{2}$ が必要十分である。したがって一般角 $\theta$ の範囲は $\displaystyle \frac{4\pi}{3}+2k\pi<\theta<\frac{5\pi}{3}+2k\pi\quad(k\text{ は整数}).$

この問題で使う考え方

二次不等式とグラフ
二次方程式とグラフ
三角関数の相互関係
三角関数の周期・グラフ

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