5東京大学 2002年 数学 第5問解答・解説

$t=k/n,\ Q_k=(0,0,z_k)$ とする。$z_k\ge0$ と $|P_kQ_k|=1$ より $$t^2+(1-t)^2+z_k^2=1,\qquad z_k=\sqrt{2t(1-t)}.$$ $P_kP_{k+1}$ は直線 $x+y=1$ 上で長さ $\sqrt2/n$、 原点とこの直線の距離は $1/\sqrt2$。従って $\triangle OP_kP_{k+1}$ の面積は $1/(2n)$。 これを底面とする三角錐の高さは $z_k$ だから $$\displaystyle V_k=\frac1{6n}\sqrt{2\frac{k}{n}\left(1-\frac{k}{n}\right)}.$$ 連続関数のリーマン和を用いて $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\sum\limits _{k=0}^{n-1}V_k =\frac16\int_0^1\sqrt{2x(1-x)}\,dx.$$ $\displaystyle u=x-\frac12$ とおけば $$\displaystyle \int_0^1\sqrt{2x(1-x)}\,dx =\sqrt2\int_{-1/2}^{1/2}\sqrt{\frac14-u^2}\,du =\frac{\pi\sqrt2}{8},$$ 最後の積分は半径 $1/2$ の半円の面積である。従って極限は $\pi\sqrt2/48$。