2筑波大学 2001年 数学 第2問解答・解説

$u(x)=\log(1+x)-x+x^2/2$、$v(x)=x-\log(1+x)$ とおく。$x>0$ で $u(0)=v(0)=0$ かつ $$\displaystyle u'(x)=\frac{x^2}{1+x}>0,\qquad v'(x)=\frac{x}{1+x}>0.$$ 従って $u(x),v(x)>0$、すなわち $x-x^2/2<\log(1+x)<x$。

(2) $t_{k,n}=f(k/n)/n\ge0$ とする。(1)を適用し、$t=0$ の場合も含めて $t-t^2/2\le\log(1+t)\le t$。$f$ は連続かつ非負なので $\displaystyle M=\max\limits _{0\le x\le1}f(x)$ は有限。積の対数をとると $$\displaystyle \frac1n\sum\limits _{k=1}^n f(k/n)-\frac1{2n^2}\sum\limits _{k=1}^n f(k/n)^2\le\log a_n\le\frac1n\sum\limits _{k=1}^n f(k/n).$$ 誤差は $\displaystyle 0\le(2n^2)^{-1}\sum f(k/n)^2\le M^2/(2n)\to0$。右辺の和は連続関数の右端リーマン和なので $\displaystyle I=\int_0^1f(x)dx$ に収束する。はさみうちより $\log a_n\to I$、指数関数の連続性から $a_n\to e^I$。

$x>0$で$\displaystyle x-\frac{x^2}{2}<\log(1+x)<x$。積$a_n$の対数は右端リーマン和に収束し、差の総和は$\displaystyle \frac{M^2}{2n}$以下へ0収束するので$a_n\to e^I$。