5筑波大学 2001年 数学 第5問解答・解説

x軸と角 $\varphi$ をなす直線の単位方向ベクトルは $(\cos\varphi,\sin\varphi)$。点 $(1,0)$ を通る直線上の点を $$(x,y)=(1+s\cos\varphi,\ s\sin\varphi)$$ と表す。これを $2x^2-2y^2=1$ に代入して整理すると $$2\cos2\varphi\,s^2+4\cos\varphi\,s+1=0.$$ 判別式は $$(4\cos\varphi)^2-8\cos2\varphi=8>0.$$ また $\varphi$ が $\pi/4$ の整数倍でなければ $\cos2\varphi\ne0$ なので、これは異なる2実根をもつ二次方程式となる。条件から $\varphi=\theta$ の直線 $l$ も $\varphi=\theta+\pi/4$ の直線 $m$ もこの条件を満たす。よってそれぞれ双曲線と異なる2点で交わる。

二根を $s_1,s_2$ とする。直線の方向ベクトルは長さ1だから交点間の距離は $|s_1-s_2|$。二次方程式の根の差の二乗は「判別式÷一次係数の二乗」より $$\displaystyle |s_1-s_2|^2=\frac{8}{(2\cos2\varphi)^2} =\frac{2}{\cos^2 2\varphi}.$$ したがって $$\displaystyle PQ^2=\frac{2}{\cos^2 2\theta},\qquad RS^2=\frac{2}{\cos^2(2\theta+\pi/2)} =\frac{2}{\sin^2 2\theta}.$$ ゆえに $$\displaystyle \frac1{PQ^2}+\frac1{RS^2} =\frac{\cos^2 2\theta+\sin^2 2\theta}{2} =\frac12,$$ θによらない。

答え

$(1)$ $l$ は双曲線と相異なる2点で交わる。 $(2)$ $\displaystyle PQ^2=\frac{2}{\cos^2 2\theta}$。 $(3)$ $\displaystyle \frac1{PQ^2}+\frac1{RS^2}=\frac12$。