1筑波大学 2001年 数学 第1問解答・解説

問1 任意の $0\le u<v\le1$ に平均値の定理を適用できる。$f$ は $u\le x\le v$ で連続であり、$u<x<v$ の範囲は $0<x<1$ に含まれるので、その範囲で微分可能である。また、$f'(x)>0$ だから $f(v)>f(u)$。したがって $f$ は $0\le x\le1$ 全体で増加し、その厳密な大小関係は上に示した通りである。 よって $x<t$ では $f(t)-f(x)>0$、$x>t$ では $f(x)-f(t)>0$ なので $$\displaystyle I(t)=\int_0^t\bigl(f(t)-f(x)\bigr)x\,dx+\int_t^1\bigl(f(x)-f(t)\bigr)x\,dx.$$ 積分を整理すると $$\displaystyle I(t)=\left(t^2-\frac12\right)f(t)-\int_0^t f(x)x\,dx+\int_t^1 f(x)x\,dx.$$ $f$ は連続、$0<t<1$ で微分可能なので、積の微分と微積分の基本定理から $$\displaystyle \begin{aligned} I'(t) &=2tf(t)+\left(t^2-\frac12\right)f'(t)-tf(t)-tf(t)\\ &=\frac{2t^2-1}{2}f'(t). \end{aligned}$$ $f'(t)>0$ であるから、$0<t<1/\sqrt2$ では $I'(t)<0$、$1/\sqrt2<t<1$ では $I'(t)>0$。従って $I(t)$ は $t=1/\sqrt2$ で唯一の最小値をとる。

f′(x)>0と平均値の定理で0≦u<v≦1ならf(u)<f(v)となることを示し、絶対値をtで分割する。積分を整理して微分し、I′(t)の符号変化から最小点を決める。