2鹿児島大学 2001年 数学 第2問解答・解説

(1) $f'(x)=1-e^{x-1}$ である。$0<x<1$ では $e^{x-1}<1$ より $f'(x)>0$ だから、f は $0<x<1$ の範囲で増加する。また $f(1)=0$ なので、$0<x<1$ では $f(x)<0$ である。$x>1$ では $f'(x)<0$ だから、f は $x>1$ の範囲で減少し、$f(x)<f(1)=0$ である。したがって正の解は $x=1$ ただ一つである。

(2) $x=a\ (a>0)$ を共有点の x 座標とする。共有点での関数値が等しいことから $2a^2\log a=k(a^2-1)\quad(1)$ を得る。また導関数はそれぞれ $4x\log x+2x$ と $2kx$ だから、接線の傾きが等しいことから $4a\log a+2a=2ka$、すなわち $k=2\log a+1\quad(2)$ である。(2) を(1) に代入して整理すると $2\log a=a^2-1$ となる。ここで $g(a)=2\log a-a^2+1$ とおくと、$\displaystyle g'(a)=\frac{2}{a}-2a=\frac{2(1-a^2)}{a}$ である。よって g は $0<a<1$ で増加し、$a>1$ で減少する。$g(1)=0$ は最大値なので、$g(a)=0$ を満たすのは $a=1$のみである。(2) より $k=1$ である。実際、$a=1,\ k=1$ では両曲線は $(1,0)$ を通り、接線の傾きはいずれも 2 である。

(3) $k=1,\quad\alpha=1$ である。$x>0$ において $2x^2\log x-x^2+1$ の原始関数は、部分積分により $\displaystyle F(x)=\frac{2}{3}x^3\log x-\frac{5}{9}x^3+x$ である。したがって求める極限は $\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\left(F(1)-F\left(\frac1n\right)\right)$ である。$\displaystyle F(1)=\frac49$ であり、$\displaystyle F\left(\frac1n\right)=-\frac{2\log n}{3n^3}-\frac{5}{9n^3}+\frac1n\longrightarrow0$ となる。実際、問題文の $\displaystyle \frac{\log n}{n}\to0$ から $\displaystyle \frac{\log n}{n^3}=\frac{1}{n^2}\frac{\log n}{n}\to0$ である。よって極限値は $\displaystyle \frac49$ である。