1鹿児島大学 2001年 数学 第1問解答・解説

PDF p.1問1を高解像度で再確認。角は0°〜180°、(3)で求めるのはgの最大最小とそのときのt（θではない）。冊子の大学・年度・医学科は固定書誌対応で別途確認。

(1) 加法定理より，$$t=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt{2}\sin(\theta+45^\circ).$$ここで，$0^\circ\leq\theta\leq180^\circ$ だから，$45^\circ\leq\theta+45^\circ\leq225^\circ$ である。この範囲で正弦の最大値は $1$，最小値は $\displaystyle -\frac{\sqrt{2}}{2}$ であるから，$t$ の最大値は $\sqrt{2}$，最小値は $-1$ となる。したがって，$-1\leq t\leq\sqrt{2}$ である。

(2) $s=\sin\theta$，$c=\cos\theta$ とおくと，$t=s+c$ であり，$s^2+c^2=1$ より $\displaystyle sc=\frac{t^2-1}{2}$ である。また，$s^3+c^3=(s+c)^3-3sc(s+c)=t^3-3sct$ だから，$$\displaystyle \begin{aligned}f(\theta)&=4(s^3+c^3)-9sc+1\\&=4t^3-(12t+9)sc+1\\&=4t^3-\frac{12t+9}{2}(t^2-1)+1\\&=-2t^3-\frac{9}{2}t^2+6t+\frac{11}{2}.\end{aligned}$$よって，$\displaystyle g(t)=-2t^3-\frac{9}{2}t^2+6t+\frac{11}{2}$ である。

(3) $-1\leq t\leq\sqrt{2}$ において，$$g'(t)=-6t^2-9t+6=-3(2t-1)(t+2).$$この範囲では $t+2>0$ なので，$g'(t)>0$ は $\displaystyle t<\frac12$ のとき，$g'(t)<0$ は $\displaystyle t>\frac12$ のときに成り立つ。したがって，$g(t)$ は $\displaystyle -1\leq t\leq\frac12$ で増加し，$\displaystyle \frac12\leq t\leq\sqrt{2}$ で減少する。$$\displaystyle g(-1)=-3,\qquad g\left(\frac12\right)=\frac{57}{8},\qquad g(\sqrt{2})=2\sqrt{2}-\frac72.$$また，$\displaystyle 2\sqrt{2}-\frac72>-3$ であるから，最小値は $-3$（$t=-1$ のとき），最大値は $\displaystyle \frac{57}{8}$（$\displaystyle t=\frac12$ のとき）である。