2奈良県立医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

A_Q2 — MM-4bfc8dc70e4b-Q2

問題 $$f(x)=\sin^3x+\cos^3x-3\sin x\cos x$$ の最大値と最小値を求める。

解答・計算過程 $s=\sin x,\ c=\cos x$ とおき、$t=s+c$ とする。$s^2+c^2=1$ より $$\displaystyle sc=\frac{(s+c)^2-(s^2+c^2)}2=\frac{t^2-1}{2}.$$ また、$s^3+c^3=(s+c)^3-3sc(s+c)$ なので $$\displaystyle \begin{aligned} f(x)&=t^3-3t\frac{t^2-1}{2}-3\frac{t^2-1}{2}\\ &=-\frac12t^3-\frac32t^2+\frac32t+\frac32=:g(t). \end{aligned}$$ $t=\sin x+\cos x=\sqrt2\sin(x+\pi/4)$ であるから、$x$ を実数全体で動かすと $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ のすべての値をとる。従って、この閉区間で $g(t)$ の最大・最小を調べればよい。

$$\displaystyle g'(t)=-\frac32(t^2+2t-1)=-\frac32(t+1-\sqrt2)(t+1+\sqrt2).$$ 導関数が零となるのは $t=-1+\sqrt2,\ -1-\sqrt2$ である。後者は $-\sqrt2\le t\le\sqrt2$ の範囲外にあり、前者 $r=\sqrt2-1$ は区間内にある。区間内では $g'(t)>0$ が $-\sqrt2\le t<r$ で成り立ち、$g'(t)<0$ が $r<t\le\sqrt2$ で成り立つから、最大値は $t=r$ でとる。端点値は $$\displaystyle g(-\sqrt2)=-\frac{3+\sqrt2}{2},\qquad g(\sqrt2)=\frac{\sqrt2-3}{2}.$$ また $r^2=3-2\sqrt2,\ r^3=5\sqrt2-7$ より $$\displaystyle g(r)=-\frac12(5\sqrt2-7)-\frac32(3-2\sqrt2)+\frac32(\sqrt2-1)+\frac32=2\sqrt2-1.$$ 端点は区間の最小候補であり、$g(-\sqrt2)<g(\sqrt2)$（差は $\sqrt2>0$）なので最小値は左端でとる。

したがって $$\displaystyle \boxed{\text{最大値 }2\sqrt2-1,\qquad \text{最小値 }-\frac{3+\sqrt2}{2}}.$$

使用解法・範囲 $\sin x+\cos x$ を一変数に置き換え、三角関数の値域と三次関数の増減を調べた。高校数学の範囲。