5奈良県立医科大学 2015年 数学 第5問解答・解説

A_Q5 — MM-4bfc8dc70e4b-Q5

問題 複素数 $\alpha$ は実数でも純虚数でもないとする。$\displaystyle \dfrac{\alpha}{1+\alpha^2}$ が実数であるための $\alpha$ の必要十分条件を求める。

解答・計算過程 実数$x,y$を用いて$\alpha=x+yi$とおく。$\alpha$ は実数でも純虚数でもないので $$x\ne0,\qquad y\ne0.$$ 分母 $1+\alpha^2$ が零になるのは $\alpha^2=-1$、すなわち $\alpha=\pm i$ のときだけであるが、これは純虚数なので仮定により起こらない。よって分母は零でない。

$$1+\alpha^2=(1+x^2-y^2)+2xyi.$$ その共役複素数を掛けて分母を実数にすると $$\displaystyle \frac{\alpha}{1+\alpha^2} =\frac{(x+yi)\{(1+x^2-y^2)-2xyi\}}{(1+x^2-y^2)^2+4x^2y^2}.$$ 分子の虚部は $$-2x^2y+y(1+x^2-y^2)=y(1-x^2-y^2)$$ である。分母は正であり、また $y\ne0$ だから、この商が実数となるための必要十分条件は $$1-x^2-y^2=0,$$ すなわち $x^2+y^2=1$ である。

従って、もとの仮定（$x\ne0,y\ne0$）のもとでの必要十分条件は $$\boxed{|\alpha|=1\quad(\alpha=x+yi,\ x,y\ne0)}.$$ 言い換えると、$\alpha$ は単位円周上にあり、実軸・虚軸上の点はもとの仮定により除かれる。

使用解法・範囲 $\alpha=x+yi$ とおき、分母の共役複素数を掛けて虚部が零となる条件を調べた。高校数学の複素数の範囲。