6奈良県立医科大学 2015年 数学 第6問解答・解説

差を $d_n=a_{n+1}-a_n$（$n\geq 1$）とおく。与えられた漸化式より $$d_{n+1}=a_{n+2}-a_{n+1}=(3a_{n+1}-2a_n)-a_{n+1}=2(a_{n+1}-a_n)=2d_n.$$ また、$d_1=a_2-a_1=5-3=2$ である。したがって、$d_{n+1}=2d_n$ を繰り返し用いると $$d_n=2^n\quad(n\geq1).$$ よって、$n\geq2$ について $$\displaystyle a_n=a_1+\sum\limits _{k=1}^{n-1}(a_{k+1}-a_k) =3+\sum\limits _{k=1}^{n-1}2^k =3+(2^n-2)=2^n+1.$$ この式は $n=1$ でも $2^1+1=3=a_1$ となるので、すべての正整数 $n$ に対して成り立つ。

確認

$n=1$ で $a_1=3$、$n=2$ で $a_2=5$ を与える。また、$a_n=2^n+1$ とすると $$3a_{n+1}-2a_n=3(2^{n+1}+1)-2(2^n+1)=2^{n+2}+1=a_{n+2},$$ となり、漸化式にも合う。初項と漸化式で数列は順に一意に定まるため、これが一般項である。

最終結果・使用解法

$$\boxed{a_n=2^n+1\quad(n=1,2,3,\ldots)}$$ 差 $a_{n+1}-a_n$ の漸化式を作り、等比数列として求めた。