4長崎大学 2001年 数学 第4問解答・解説

(1) $k>0$ なので、$k\le x\le2k$ の範囲では曲線 $\displaystyle y=\frac{1}{x+1}$ は $x$ 軸より上にある。これを $x$ 軸のまわりに回転してできる立体は、各 $x$ における半径 $\displaystyle \frac{1}{x+1}$ の円板で切れる。したがって $$\displaystyle \begin{aligned} V(k) &=\pi\int_k^{2k}\left(\frac{1}{x+1}\right)^2\,dx\\ &=\pi\left[-\frac{1}{x+1}\right]_k^{2k}\\ &=\pi\left(\frac{1}{k+1}-\frac{1}{2k+1}\right) =\frac{\pi k}{(k+1)(2k+1)}. \end{aligned}$$

(2) $k>0$ では $(k+1)(2k+1)>0$ である。商の微分により $$\displaystyle \begin{aligned} V'(k) &=\pi\frac{(k+1)(2k+1)-k(4k+3)}{\{(k+1)(2k+1)\}^2}\\ &=\pi\frac{1-2k^2}{(k+1)^2(2k+1)^2}. \end{aligned}$$ 分母は正であり、$k>0$ において、$V'(k)>0$ となるのは $\displaystyle 0<k<\frac{1}{\sqrt2}$、$V'(k)<0$ となるのは $\displaystyle k>\frac{1}{\sqrt2}$ である。よって $V(k)$ は $\displaystyle k=\frac{1}{\sqrt2}$ まで増加し、その後減少するので、このとき最大となる。その値は $$\displaystyle \begin{aligned} V\left(\frac{1}{\sqrt2}\right) &=\frac{\pi}{2\sqrt2+3} =\pi(3-2\sqrt2). \end{aligned}$$ したがって、最大値は $\pi(3-2\sqrt2)$、そのときの $k$ は $\displaystyle \frac{1}{\sqrt2}$ である。