6長崎大学 2001年 数学 第6問解答・解説

(1) $z\ne0$ なので、$z=r(\cos\alpha+i\sin\alpha)$（$r>0$）と表す。すると $$z^4=r^4(\cos4\alpha+i\sin4\alpha).$$ これが実数であるための条件は $\sin4\alpha=0$、すなわち $4\alpha=180^\circ k$（$k$ は整数）である。$0^\circ\le\alpha<360^\circ$ より $$\alpha=0^\circ,45^\circ,90^\circ,135^\circ,180^\circ,225^\circ,270^\circ,315^\circ.$$

(2) $z-1\ne0$ として $z-1=\rho(\cos\beta+i\sin\beta)$（$\rho>0$）と表す。$(z-1)^3$ が純虚数である条件はその実部が0、すなわち $\cos3\beta=0$ である。したがって $$3\beta=90^\circ+180^\circ k$$ となり、範囲 $0^\circ\le\beta<360^\circ$ から $$\beta=30^\circ,90^\circ,150^\circ,210^\circ,270^\circ,330^\circ.$$

(3) $x>0,\ y>0$ より $z$ の偏角は $0^\circ<\alpha<90^\circ$ である。(1)の候補のうち、これを満たすのは $\alpha=45^\circ$ だけである。よって $z=a(1+i)$（$a>0$）とおける。このとき $$z-1=(a-1)+ai$$ であり、$\beta$ は $0^\circ<\beta<180^\circ$ にあるので、(2)から候補は $30^\circ,90^\circ,150^\circ$ である。 $$\displaystyle \begin{array}{c|c|c} \beta&条件&結果\\ \hline 30^\circ&\dfrac{a}{a-1}=\dfrac1{\sqrt3}&(\sqrt3-1)a=-1\ \text{となり }a>0\text{に反する}\\ 90^\circ&a-1=0&a=1\\ 150^\circ&\dfrac{a}{1-a}=\dfrac1{\sqrt3}&a=\dfrac1{\sqrt3+1}=\dfrac{\sqrt3-1}{2} \end{array}$$ $a=1$ のとき $z=1+i$ なので $z^4=-4$。また $a=(\sqrt3-1)/2$ のとき $$z^4=a^4(1+i)^4=-4a^4=4\sqrt3-7.$$ したがって求める値は $$z^4=-4,\quad 4\sqrt3-7.$$