5長崎大学 2001年 数学 第5問解答・解説

(1) 平面 $z=a$ と各辺との交点を求める。線分 $AC$ 上では $x+z=1,\ y=0$，線分 $AD$ 上では $x=1,\ y=z$，線分 $BD$ 上では $y=1,\ x=z$，線分 $BC$ 上では $x=0,\ y+z=1$ であるから， $$P=(1-a,0,a),\quad Q=(1,a,a),\quad R=(a,1,a),\quad S=(0,1-a,a).$$

(2) 切り口は平面 $z=a$ 上にある。隣り合う辺のベクトルは $$\overrightarrow{PQ}=(a,a,0),\qquad \overrightarrow{QR}=(a-1,1-a,0).$$ その内積は $$\overrightarrow{PQ}\cdot\overrightarrow{QR} =a(a-1)+a(1-a)=0$$ であり，また $\overrightarrow{RS}=-\overrightarrow{PQ}$，$\overrightarrow{SP}=-\overrightarrow{QR}$ だから，切り口は長さ $$|PQ|=\sqrt{2}\,a,\qquad |QR|=\sqrt{2}(1-a)$$ の長方形である。従って $$\displaystyle S(a)=|PQ||QR|=2a(1-a) =\frac12-2\left(a-\frac12\right)^2.$$ $0<a<1$ の範囲で $a=1/2$ は許され，平方項はそこで最小の $0$ となる。よって最大値は $1/2$ で，そのとき $a=1/2$ である。