3長崎大学 2001年 数学 第3問解答・解説

(1) 加法定理を $$\displaystyle \cos A=\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} -\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2},$$ $$\displaystyle \cos B=\cos\frac{A+B}{2}\cos\frac{A-B}{2} +\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2}$$ と用いると、差をとって $$\displaystyle \cos A-\cos B =-2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{A-B}{2} =2\sin\frac{A+B}{2}\sin\frac{B-A}{2}$$ を得る。

(2) (1)に $A=3\theta,\ B=2\theta$ を代入すると $$\displaystyle \cos3\theta-\cos2\theta =-2\sin\frac{5\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}.$$ したがって求める不等式は $$\displaystyle \sin\frac{5\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}>0$$ と同値である。$0^\circ<\theta<360^\circ$ では $0^\circ<\theta/2<180^\circ$ だから $\sin(\theta/2)>0$。よって $\sin(5\theta/2)>0$ となる範囲を求めればよい。 $0^\circ<5\theta/2<900^\circ$ において正弦が正となるのは $$\displaystyle 0^\circ<\frac{5\theta}{2}<180^\circ,\quad 360^\circ<\frac{5\theta}{2}<540^\circ,\quad 720^\circ<\frac{5\theta}{2}<900^\circ$$ である。従って $$0^\circ<\theta<72^\circ,\qquad 144^\circ<\theta<216^\circ,\qquad 288^\circ<\theta<360^\circ.$$ 各端点では等号となるか、問題の定義域から外れるため、端点は含まない。

(3) 二つの関数の周期はそれぞれ $180^\circ$、$120^\circ$ なので、共通周期 $360^\circ$ の一周期を描けばよい。どちらも値域は $-1\le y\le1$ である。描く際の主な通過点は $$\begin{aligned} y=\cos2\theta:\quad &(0^\circ,1),(45^\circ,0),(90^\circ,-1),(135^\circ,0), (180^\circ,1),(225^\circ,0),(270^\circ,-1),(315^\circ,0),(360^\circ,1),\\ y=\cos3\theta:\quad &(0^\circ,1),(30^\circ,0),(60^\circ,-1),(90^\circ,0), (120^\circ,1),(150^\circ,0),(180^\circ,-1),(210^\circ,0),\\ &(240^\circ,1),(270^\circ,0),(300^\circ,-1),(330^\circ,0),(360^\circ,1). \end{aligned}$$ これらの点を、それぞれ滑らかな余弦曲線で結ぶ。第1の曲線はこの区間に2周期、第2の曲線は3周期を描き、交点の $y$ 座標を別に計算する必要はない。