愛媛大学 2001年数学第3問解答・解説

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1問題

愛媛大学2001年度第3問

次の問いに答えよ。

(1) $\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta=2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$ であることを示せ。ただし，必要があれば，加法定理を用いてもよい。

(2) $a$ は定数で， $0\leq a<2\pi$ とする。 $0\leq x<2\pi$ のとき，関数 $y=\sin x+\sin(x-a)$ の最大値を求めよ。また，そのときの $x$ の値を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) 和積公式。 (2) 最大値は $\displaystyle 2\left|\cos\frac a2\right|$ 。 $0\leq a<\pi$ で $\displaystyle x=\frac{a+\pi}{2}$ 、 $a=\pi$ で全x、 $\pi<a<2\pi$ で $\displaystyle x=\frac{a-\pi}{2}$ 。

解答を見る途中式つきの解答

解説

(1) 正弦の和の公式

2つの角の平均 $u=(α+β)/2$ と半差 $v=(α−β)/2$ を使うと、 $α=u+v$ 、 $β=u-v$ です。加法定理で展開すると、反対符号の項が打ち消し合い、求める公式が得られます。

(2) 最大値と等号条件

(1)を使うと、 $y=2\cos(a/2)\sin(x-a/2)$ です。 $-1\le\sin(x-a/2)\le1$ なので、係数が正なら $\sin=1$ 、負なら $\sin=-1$ のときに最大となります。係数が0となる $a=\pi$ では $y$ は恒等的に0です。

指定された半開区間 $0\le x<2\pi$ で等号を満たす角を選ぶと、最大値を取る $x$ は各場合で一意ですが、 $a=\pi$ の場合は区間の全てです。

この問題で使う考え方

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