4愛媛大学 2001年 数学 第4問解答・解説

単元・方法・テーマ

(1) 数学III「対数関数・微分法」：一階・二階導関数の符号と端での極限を調べる。テーマは対数を含む関数の増減・凹凸・概形。

(2) 数学III「微分法・接線」：導関数を各接点の傾きとし、垂直条件を使う。テーマは曲線の接線と直交条件。

(3) 数学III「積分法・面積」：二つの接線の交点で上側境界を分け、曲線との差を定積分する。テーマは曲線と複数直線で囲まれた面積。

(1) $x>0$ で $$\displaystyle f'(x)=1-\log x,\qquad f''(x)=-\frac1x<0.$$ よって $f'(x)>0$ は $0<x<e$、$f'(e)=0$、$f'(x)<0$ は $x>e$ である。従って $0<x\le e$ で増加し、$x\ge e$ で減少する。最大値は $$f(e)=2e-e\log e=e.$$ また $\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}f(x)=0$（問題文で許された $\displaystyle \lim\limits _{x\to+0}x\log x=0$ を使用）であり、$x\to+\infty$ のとき $f(x)=x(2-\log x)\to-\infty$。$f(x)=0$ は $x=e^2$ である。凹凸は全域で上に凸（$f''<0$、すなわちグラフは接線より下側にある向きの凹関数）で、変曲点はない。従って概形は、$x\to0+$ で $(0,0)$ に右側から近づき、$(e,e)$ で最大となり、下に曲がりながら $(e^2,0)$ を通って右下へ伸びる。

(2) $f(e^2)=2e^2-e^2\cdot2=0$、$f'(e^2)=1-2=-1$ だから $$l:\ y=-(x-e^2)=e^2-x.$$ $l$ の傾きは $-1$ なので、これに直交する接線の傾きは $1$。接点の $x$ 座標を $s$ とすると $f'(s)=1$、すなわち $1-\log s=1$ より $s=1$。$f(1)=2$ だから $$m:\ y-2=x-1,\qquad\text{すなわち}\qquad m:\ y=x+1.$$

(3) 2直線の交点の $x$ 座標を $\xi$ とすると $$\displaystyle e^2-\xi=\xi+1,\qquad \xi=\frac{e^2-1}{2}.$$ ここで $e^2>3$ より $1<\xi<e^2$。$1\le x\le\xi$ の範囲では $m$ が上側境界、$\xi\le x\le e^2$ の範囲では $l$ が上側境界となる。曲線との差はそれぞれ $$m-f=1-x+x\log x,\qquad l-f=e^2-3x+x\log x.$$ 前者は $x=1$ で0、導関数が $\log x\ge0$ なので $1\le x\le\xi$ で非負。後者は $x=e^2$ で0、導関数が $\log x-2\le0$ なので $\xi\le x\le e^2$ で非負。従って囲まれた部分の面積は $$\displaystyle \begin{aligned} S&=\int_1^\xi(1-x+x\log x)\,dx +\int_\xi^{e^2}(e^2-3x+x\log x)\,dx\\ &=\left[x-\frac34x^2+\frac12x^2\log x\right]_1^\xi +\left[e^2x-\frac74x^2+\frac12x^2\log x\right]_\xi^{e^2}\\ &=\frac{e^4}{4}-e^2\xi+\xi^2+\xi-\frac14 =\frac{e^2-1}{2}. \end{aligned}$$