2愛媛大学 2001年 数学 第2問解答・解説

放物線①上の接点の $x$ 座標を $u$ とすると、その接線は $$y=6ux+1-3u^2$$ である。放物線②上の接点の $x$ 座標を $v$ とすると、その接線は $$y=-2vx+1-c^2+v^2$$ である。両接線の傾きを $k$ とすると、$u=k/6,\ v=-k/2$ であり、切片が等しいから $$\displaystyle 1-\frac{k^2}{12}=1-c^2+\frac{k^2}{4}.$$ したがって $k^2=3c^2$。$c>0$ より $k=\pm\sqrt{3}c$ である。切片はどちらの場合も $1-c^2/4$ となるので、 $$\displaystyle l,m:\quad y=\sqrt{3}cx+1-\frac{c^2}{4},\qquad y=-\sqrt{3}cx+1-\frac{c^2}{4}.$$

(2) $a=c/(2\sqrt{3})$ とおく。①への接点は $x=\pm a$ である。$-a\le x\le0$ では $x=-a$ における①の接線が境界となり、①との差は $3(x+a)^2$ である。対称性から $$\displaystyle S_1=2\int_{-a}^{0}3(x+a)^2\,dx=2a^3=\frac{c^3}{12\sqrt{3}}.$$ ②への接点は $x=\pm d$、ただし $d=\sqrt{3}c/2$ である。各半分で接線と②との差はそれぞれ $(x+d)^2,\ (x-d)^2$ なので、 $$\displaystyle S_2=2\int_{-d}^{0}(x+d)^2\,dx=\frac{2d^3}{3}=\frac{\sqrt{3}c^3}{4}.$$ よって $$\displaystyle S_1:S_2=\frac{c^3}{12\sqrt{3}}:\frac{\sqrt{3}c^3}{4}=1:9.$$