6選択愛媛大学 2001年 数学 第6選択問解答・解説

原文は選択問題として $6\text{-a}$ と $6\text{-b}$ のどちらか一方を解答するよう指示している。以下では比較のため両方を示す。実際の受験では一方を選ぶ。

【$6\text{-a}$】複素数平面で $C=i$ から $A=a$ へ向かうベクトルを $v=a-i$、$C$ から $B=z$ へ向かうベクトルを $w=z-i$ とする。$AB$ が斜辺なので直角は $C$ にあり、直角二等辺三角形だから $|v|=|w|$、かつ $v,w$ は垂直である。したがって $w$ は $v$ を $90^\circ$ または $-90^\circ$ 回転したもので、 $$w=\pm iv,\qquad z-i=\pm i(a-i).$$ 2つの場合を計算すると $$z=1+(a+1)i\quad\text{または}\quad z=-1+(1-a)i.$$

(2) 前者の実部は $1$ なので偏角 $120^\circ$ にはならない。後者は実部が $-1$。偏角が $120^\circ$ なら第2象限で $\tan120^\circ=-\sqrt3$ より虚部は $\sqrt3$ である。したがって $1-a=\sqrt3$、$a=1-\sqrt3$、 $$z=-1+\sqrt3 i.$$

(3) $CA=CB$ で、直角が $C$ にあるため面積は $\displaystyle \frac12|CA|^2$。点 $A=(a,0)$、$C=(0,1)$ だから $$\displaystyle [ABC]=\frac12(a^2+1)=\frac12((1-\sqrt3)^2+1)=\frac{5-2\sqrt3}{2}.$$

【$6\text{-b}$】

(1) 三角形の重心が原点なので $\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}=\vec0$。よって $$C=-A-B=-(1,1,1)-(2,-2,-2)=(-3,1,1).$$

(2) $u=\overrightarrow{AB}=(1,-3,-3)$、$v=\overrightarrow{AC}=(-4,0,0)$ とおくと、 $$|u|^2=19,\qquad |v|^2=16,\qquad u\cdot v=-4.$$ $u,v$ のなす角を $\theta$ とする。$\displaystyle \cos\theta=\frac{-4}{\sqrt{19}\cdot4}=-\frac1{\sqrt{19}}$ なので、$\theta$ は鈍角だが $\displaystyle \sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}=\frac{3\sqrt2}{\sqrt{19}}$。したがって $$\displaystyle [ABC]=\frac12|u||v|\sin\theta=\frac12\cdot\sqrt{19}\cdot4\cdot\frac{3\sqrt2}{\sqrt{19}}=6\sqrt2.$$

(3) 平面に垂直な方向ベクトルを $n=(p,q,r)$ とする。平面内の $u,v$ と垂直だから $$u\cdot n=p-3q-3r=0,\qquad v\cdot n=-4p=0.$$ よって $p=0$、$r=-q$ で、例えば $n=(0,1,-1)$。点 $C$ を通る法線は $$(X,Y,Z)=(-3,1,1)+t(0,1,-1).$$ $xy$ 平面では $Z=0$ なので $1-t=0$、$t=1$。交点は $(-3,2,0)$。