1愛媛大学 2001年 数学 第1問解答・解説

(1)　 各境界直線の交点を求める。$y=0$ と $y=2x$ の交点は $O=(0,0)$、$y=0$ と $y=3-x$ の交点は $C=(3,0)$ であり、$y=2x$ と $y=3-x$ の交点は $P=(1,2)$ である。したがって $A$ は、頂点 $(0,0),(1,2),(3,0)$ をもつ三角形で、境界を含む。

(2)　 $B$ の境界直線は $y=x+1-a$ であり、$B$ はその上側である。$A$ の面積は $\displaystyle \frac12\cdot3\cdot2=3$。

$0<a\le1$ のとき、直線 $y=x+1-a$ は三角形の左辺 $y=2x$ と $L=(1-a,2-2a)$ で、右辺 $y=3-x$ と $\displaystyle R=(1+\frac a2,2-\frac a2)$ で交わる。共通部分 $A\cap B$ は頂点 $P=(1,2),L,R$ の三角形である。$\overrightarrow{PL}=(-a,-2a)$、$\displaystyle \overrightarrow{PR}=(\frac a2,-\frac a2)$ だから、その面積は $$\displaystyle S=\frac12\left|(-a)\left(-\frac a2\right)-(-2a)\left(\frac a2\right)\right|=\frac{3a^2}{4}.$$

$1<a<4$ のとき、直線 $y=x+1-a$ は $x$ 軸と $L=(a-1,0)$ で、三角形の右辺 $y=3-x$ と $\displaystyle R=(1+\frac a2,2-\frac a2)$ で交わる。$A$ からこの直線より下側の部分を除くと $A\cap B$ になる。除かれる部分は、底辺の長さ $3-(a-1)=4-a$、高さ $\displaystyle 2-\frac a2=\frac{4-a}{2}$ の三角形なので $$\displaystyle S=3-\frac12(4-a)\frac{4-a}{2}=3-\frac{(4-a)^2}{4}=2a-1-\frac{a^2}{4}.$$ $a\ge4$ のとき、$A$ の頂点で $x-y$ の最大値は $(3,0)$ での3であるから、$A$ の全点で $x-y\le3\le a-1$。よって $A\subseteq B$ となり $S=3$ である。以上から $$\displaystyle S=\begin{cases} \dfrac{3a^2}{4}&(0<a\le1),\\[3pt] 3-\dfrac{(4-a)^2}{4}&(1<a<4),\\[3pt] 3&(a\ge4). \end{cases}$$

(3)　 $A$ の面積の半分は $\displaystyle \frac32$ である。$0<a\le1$ では $\displaystyle S\le\frac34$、$a\ge4$ では $S=3$ なので該当しない。$1<a<4$ では $$\displaystyle 3-\frac{(4-a)^2}{4}=\frac32 \quad\text{と同値な式は}\quad (4-a)^2=6.$$ この範囲で成り立つのは $4-a=\sqrt6$、すなわち $a=4-\sqrt6$ だけである。