5選択愛媛大学 2001年 数学 第5選択問解答・解説

原問題では5-a、5-bのいずれか一方を選択する。以下に両方の解答を記す。

5-a (1)

$$a^5+b^5-a^3b^2-a^2b^3=(a+b)(a^4-a^3b+a^2b^2-ab^3+b^4)-a^2b^2(a+b)=(a+b)(a^4-a^3b-ab^3+b^4)=(a+b)(a-b)^2(a^2+ab+b^2).$$ 5-a (2)

$x=\sqrt a,\quad y=\sqrt b$ とおくと、$x>0,\quad y>0$である。$$\displaystyle \left|\frac{a}{b}\sqrt a-\frac{b}{a}\sqrt b\right|=\left|\frac{x^3}{y^2}-\frac{y^3}{x^2}\right|=\frac{|x-y|}{x^2y^2}(x^4+x^3y+x^2y^2+xy^3+y^4).$$ ここで、$$x^4+x^3y+xy^3+y^4>0$$だから、括弧内の式は$x^2y^2$より大きい。したがって、$$\displaystyle \left|\frac{a}{b}\sqrt a-\frac{b}{a}\sqrt b\right|\geq |x-y|=|\sqrt a-\sqrt b|.$$ $x=y$なら両辺は0で等号が成り立つ。$x\ne y$なら$|x-y|>0$かつ括弧内の式が$x^2y^2$より大きいため不等号は厳密である。よって等号成立は$x=y$、すなわち$a=b$のときに限る。

5-b (1)

第n群には2n-1個の数が含まれるので、第n+1群の最初の数は$p_n$より2n-1だけ大きい。したがって、$$p_1=1,\qquad p_{n+1}=p_n+(2n-1)\quad(n\geq1).$$

5-b (2)

第n群の前にある数の個数は、最初のn-1個の正の奇数の和だから、$$\displaystyle p_n=1+\sum\limits _{j=1}^{n-1}(2j-1)=1+\frac{(n-1)\{1+(2n-3)\}}{2}=(n-1)^2+1.$$ n=1の場合も、和は0でこの式が成り立つ。

5-b (3)

第n群の第k数は、最初の数$p_n$からk-1だけ進んだ数である。したがって、$1\leq k\leq2n-1$として、$$p_n+k-1=(n-1)^2+k.$$

5-b (4)

第n群に含まれる数は$(n-1)^2+1$から$n^2$までである。$29^2=841<871\leq900=30^2$より、871は第30群にある。その群での順番は$871-841=30$だから、871は第30群の第30数である。