4日本大学 2009年 数学 第4問解答・解説

平方根の定義域から $-1\le x\le1$ である。また $$1-\sqrt{1-x^2}\ge0$$ だから、領域 $D$ に点があるためには $x/\sqrt3\ge0$、すなわち $x\ge0$ が必要である。従って $0\le x\le1$ であり、この範囲では $1-x/\sqrt3>0$ なので、二つの境界の大小は $$\displaystyle 1-\sqrt{1-x^2}\le\frac{x}{\sqrt3} \quad\text{すなわち}\quad \sqrt{1-x^2}\ge1-\frac{x}{\sqrt3}$$ を両辺平方して判定できる。整理すると $$\displaystyle 1-x^2\ge1-\frac{2x}{\sqrt3}+\frac{x^2}{3} \quad\text{すなわち}\quad x\left(\frac{4x}{3}-\frac{2}{\sqrt3}\right)\le0,$$ よって $0\le x\le\sqrt3/2$ である。

円弧の式は $$x^2+(y-1)^2=1,\qquad y\le1$$ であり、中心 $Q=(0,1)$、半径1の円の下半分である。直線との交点は $$\displaystyle O=(0,0),\qquad P=\left(\frac{\sqrt3}{2},\frac12\right).$$ 半径 $QO=QP=1$ で、$\overrightarrow{QO}\cdot\overrightarrow{QP}=1/2$ だから、中心角 $\angle OQP=\pi/3$ である。したがって、領域 $D$ はこの扇形から三角形 $QOP$ を除いた円弧部分である。扇形の面積は $\pi/6$、三角形 $QOP$ は一辺1の正三角形なので面積は $\sqrt3/4$。ゆえに $$\displaystyle \operatorname{Area}(D)=\frac{\pi}{6}-\frac{\sqrt3}{4}.$$

次に、$0\le x\le\sqrt3/2$ を満たす各 $x$ について $y$ の最小値は下側の境界 $1-\sqrt{1-x^2}$ であるから $$y-x\ge1-\sqrt{1-x^2}-x.$$ ここで $u=x$、$v=\sqrt{1-x^2}$ とおくと $u,v\ge0$、$u^2+v^2=1$ であり、$(u-v)^2\ge0$ より $2uv\le1$ である。従って $$(u+v)^2=1+2uv\le2,$$ すなわち $\sqrt{1-x^2}+x\le\sqrt2$。よって $y-x\ge1-\sqrt2$ である。等号は $u=v=1/\sqrt2$、すなわち $x=1/\sqrt2$ のとき成立し、この値は $0\le x\le\sqrt3/2$ を満たす。下側境界上の点 $\left(1/\sqrt2,1-1/\sqrt2\right)$ は $D$ に属するので、最小値は実際に達成される。

検算として、面積は扇形の面積 $\pi/6$ より小さく正であり、最小値を与える点では $y-x=1-\sqrt2$ となる。