2日本大学 2009年 数学 第2問解答・解説

三角形の外接円の半径は (R=2) である。正弦定理より $$AB=2R\sin\angle ACB,\qquad BC=2R\sin\angle BAC.$$ $\angle ABC>\pi/2$ なので、$\angle ACB<\pi/2$ かつ $\angle BAC<\pi/2$ である。したがって $$2\sqrt{2}=4\sin\angle ACB$$ から $\angle ACB=\pi/4$ を得る。また $$2=4\sin\angle BAC$$ と $0<\angle BAC<\pi/2$ から $\angle BAC=\pi/6$ である。よって $$\displaystyle \angle ABC=\pi-\frac{\pi}{4}-\frac{\pi}{6}=\frac{7\pi}{12}.$$ 再び正弦定理を用いると $$\displaystyle AC=2R\sin\angle ABC=4\sin\frac{7\pi}{12} =4\sin\left(\frac{\pi}{3}+\frac{\pi}{4}\right) =\sqrt{6}+\sqrt{2}.$$

次に、$BA\parallel CD$ より $\angle ACD=\angle CAB=\pi/6$ である。四角形 $ABCD$ は円に内接するから、対角の和は $\pi$ であり、 $$\displaystyle \angle ADC=\pi-\angle ABC=\frac{5\pi}{12}.$$ したがって三角形 $ACD$ では $\angle CAD=\pi-\pi/6-5\pi/12=5\pi/12$ となる。$\angle CAD=\angle ADC$ より、対辺は等しく $CD=AC=\sqrt{6}+\sqrt{2}$ である。

対角線 $AC$ で分けた二つの三角形の面積を求める。 $$\displaystyle [ABC]=\frac12 AB\cdot BC\sin\angle ABC =2\sqrt{2}\sin\frac{7\pi}{12} =1+\sqrt{3},$$ また $$\displaystyle [ACD]=\frac12 AC\cdot CD\sin\angle ACD =\frac14(\sqrt{6}+\sqrt{2})^2 =2+\sqrt{3}.$$ よって $$[ABCD]=[ABC]+[ACD]=3+2\sqrt{3}.$$ 検算として、$AC/(2R)=\sin(7\pi/12)$ であり、$AC=\sqrt{6}+\sqrt{2}<4=2R$ なので、求めた弦の長さは外接円の直径を超えず、角の条件とも一致する。