1東京慈恵会医科大学 2009年 数学 第1問解答・解説

(1) 余弦定理より $$\displaystyle \cos C=\frac{BC^2+CA^2-AB^2}{2\,BC\,CA}=\frac{6^2+5^2-4^2}{2\cdot6\cdot5}=\frac34.$$ $BD:DC=1:2$、$BC=6$ から $DC=4$ である。$x=CQ$ とおくと、三角形 $CDQ$ に余弦定理を用いて $$11=DQ^2=DC^2+CQ^2-2\,DC\,CQ\cos C=16+x^2-6x,$$ したがって $(x-1)(x-5)=0$ である。$Q$ は辺 $AC$ 上にあるので $0\le x\le5$ だが、$x=5$ なら $Q=A$ となり、直線 $DQ$ と $AB$ の交点は $A$ であって、$AB$ の延長上で $B$ の外側にある $P$ とは一致しない。よって $CQ=x=1$。また $BD/DC=1/2$、$CQ/QA=1/4$ である。三角形 $ABC$ にメネラウスの定理を用いると $$\displaystyle \frac{AP}{PB}\cdot\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CQ}{QA}=1,$$ したがって $AP/PB=8$。$BP=t$ とすると $AP=AB+BP=4+t$ だから $(4+t)/t=8$、$t=4/7$ である。よってアは $\displaystyle \frac34$、イは1、ウは $\displaystyle \frac47$ である。

(2) 確率の和が1になることから $$\displaystyle 1=p_0\sum\limits _{k=0}^n\frac1{2^k}=p_0\frac{2^{n+1}-1}{2^n},$$ よって $\displaystyle p_0=\frac{2^n}{2^{n+1}-1}$ である。$n=2$ なら $\displaystyle p_0=\frac47$、また $$\displaystyle E(X)=0\cdot p_0+1\cdot\frac{p_0}{2}+2\cdot\frac{p_0}{4}=p_0=\frac47.$$ 一般に $\displaystyle S_n=\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2^k}$ とおくと $$\displaystyle \frac{S_n}{2}=\sum\limits _{k=1}^n\frac{k}{2^{k+1}},\qquad \frac{S_n}{2}=S_n-\frac{S_n}{2}=1-\frac1{2^n}-\frac{n}{2^{n+1}}.$$ したがって $\displaystyle S_n=2-\frac{n+2}{2^n}$ であり、 $$\displaystyle E(X)=p_0S_n=\frac{2^n}{2^{n+1}-1}\left(2-\frac{n+2}{2^n}\right)=\frac{2^{n+1}-n-2}{2^{n+1}-1}.$$ よってエ、オは $\displaystyle \frac47$、カは $2^n$、キは $2^{n+1}-n-2$ である。

(3) 加法定理から $$\displaystyle \tan\frac{5\pi}{12}=\tan\left(\frac\pi4+\frac\pi6\right)=\frac{1+1/\sqrt3}{1-1/\sqrt3}=2+\sqrt3.$$ 積分では $x=2\tan t$ と置換する。積分区間は $t=0$ から $\tan t=2+\sqrt3$ となる $\displaystyle t=\frac{5\pi}{12}$ までであり、$dx=2\sec^2t\,dt$、$x^2+4=4\sec^2t$ だから $$\displaystyle I=\int_0^{5\pi/12}2\cos^2t\,dt=\int_0^{5\pi/12}(1+\cos2t)\,dt =\left[t+\frac12\sin2t\right]_0^{5\pi/12}=\frac{5\pi}{12}+\frac14.$$ よってクは $2+\sqrt3$、ケは $\displaystyle \frac{5\pi}{12}+\frac14$ である。