2東京大学 2007年 数学 第2問解答・解説

$\triangle OP_{k-1}P_k$ の頂角はすべて$\pi/n$ であり、頂点$P_{k-1}$ の角は$k=1$ では定義により、$k\ge2$ では条件①により、いずれも$\beta=\angle OP_0P_1$ である。したがってこれらの三角形はすべて相似である。 $q=1+1/n$ とおくと、相似比より $$\displaystyle \frac{OP_k}{OP_{k-1}}=\frac{OP_1}{OP_0}=q,\qquad a_k=q^{k-1}a_1.$$ 余弦定理を最初の三角形に適用すると、 $$\displaystyle a_1^2=1+q^2-2q\cos\frac{\pi}{n}=(q-1)^2+2q\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right).$$ よって等比数列の和から $$\displaystyle s_n=a_1\sum\limits _{k=0}^{n-1}q^k=n a_1(q^n-1).$$ ここで$1-\cos x=2\sin^2(x/2)$ を用いると、 $$\displaystyle \begin{aligned}(n a_1)^2&=1+2n^2q\left(1-\cos\frac{\pi}{n}\right)\\&=1+\pi^2q\left(\frac{\sin(\pi/(2n))}{\pi/(2n)}\right)^2\longrightarrow1+\pi^2.\end{aligned}$$ したがって$n a_1\to\sqrt{1+\pi^2}$。また$q^n=(1+1/n)^n\to e$ なので、 $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}s_n=(e-1)\sqrt{1+\pi^2}.$$