4東京大学 2007年 数学 第4問解答・解説

(1) 仮定 $A=aP+(a+1)Q$ を用いると $$\begin{aligned} (P+Q)A&=(P+Q)\{aP+(a+1)Q\}\\ &=aP^2+(a+1)PQ+aQP+(a+1)Q^2\\ &=aP+(a+1)Q=A. \end{aligned}$$

(2) $AP=aP$ および $AQ=(a+1)Q$ は、与式と $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=QP=O$ から従う。まず $P=\begin{pmatrix}p&q\\r&s\end{pmatrix}$ とおく。$AP=aP$ の成分を比較すると $p+r=0$, $q+s=0$ なので $$P=\begin{pmatrix}p&q\\-p&-q\end{pmatrix}.$$ 同様に $Q=\begin{pmatrix}u&v\\w&z\end{pmatrix}$ とおくと、$AQ=(a+1)Q$ の第1行を比較して $u=v=0$ となり、 $$Q=\begin{pmatrix}0&0\\w&z\end{pmatrix}.$$ これらを $A=aP+(a+1)Q$ に代入し、$a>0$ を用いて成分を比較すると $$p=1,\quad q=0,\quad -a+(a+1)w=1,\quad (a+1)z=a+1,$$ よって $w=z=1$ である。したがって $$P=\begin{pmatrix}1&0\\-1&0\end{pmatrix},\qquad Q=\begin{pmatrix}0&0\\1&1\end{pmatrix}.$$ 実際、この行列は $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=QP=O$ を満たし、$aP+(a+1)Q=A$ となる。

(3) (2)の $P,Q$ を用いると、各 $k\geq2$ で $$A_k=kP+(k+1)Q.$$ また $P^2=P$, $Q^2=Q$, $PQ=QP=O$ である。$n=2$ では $$\displaystyle A_2=2P+3Q=2!P+\frac{3!}{2}Q.$$ $n-1$ までの積が $\displaystyle (n-1)!P+\frac{n!}{2}Q$ と表せるとすると、 $$\displaystyle \begin{aligned} A_nA_{n-1}\cdots A_2 &=(nP+(n+1)Q)\left((n-1)!P+\frac{n!}{2}Q\right)\\ &=n!P+\frac{(n+1)!}{2}Q. \end{aligned}$$ したがって帰納法により積はこの式で与えられる。成分で表せば $$\displaystyle A_nA_{n-1}\cdots A_2 =\begin{pmatrix} n!&0\\[2pt]\dfrac{(n-1)n!}{2}&\dfrac{(n+1)!}{2} \end{pmatrix}.$$