4島根大学 2009年 数学 第4問解答・解説

$a,b\ne0$ とし、 $$X=\begin{pmatrix}0&a&0\\b&0&b\\0&a&0\end{pmatrix}$$ とおく。直接計算すると $$X^2=ab\begin{pmatrix}1&0&1\\0&2&0\\1&0&1\end{pmatrix}, \qquad X^3=2abX.$$

(1) $\displaystyle a=\frac12,\ b=1$ では $$\displaystyle X^2=\begin{pmatrix}\frac12&0&\frac12\\0&1&0\\\frac12&0&\frac12\end{pmatrix}, \qquad X^3=X.$$ 従って奇数乗は $X$、偶数乗は $X^2$ である。$\displaystyle X_{12}=\frac12$、$(X^2)_{12}=0$ より異なる2行列であり、 $$\displaystyle S=\left\{ \begin{pmatrix}0&\frac12&0\\1&0&1\\0&\frac12&0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}\frac12&0&\frac12\\0&1&0\\\frac12&0&\frac12\end{pmatrix} \right\}.$$

(2) $X^3=2abX$ を用いる。$k=1$ では $X=(2ab)^0X$。$X^{2k-1}=(2ab)^{k-1}X$ と仮定すると $$X^{2(k+1)-1}=X^{2k+1}=X^{2k-1}X^2 =(2ab)^{k-1}X^3=(2ab)^kX.$$ よって帰納法により、全ての自然数 $k$ で成立する。

(3) $c=2ab\ne0$ とおく。(2)から $$X^{2k-1}=c^{k-1}X,\qquad X^{2k}=c^{k-1}X^2.$$ また $X\ne0$、$X^2\ne0$ であり、$X_{12}=a\ne0$、$(X^2)_{12}=0$ なので非零定数倍どうしでも $X$ 型と $X^2$ 型は一致しない。

$c=1$ なら $S=\{X,X^2\}$ で2要素。

$c=-1$ なら奇数乗は $\pm X$、偶数乗は $\pm X^2$ で、上の成分比較と非零性から4要素は相異なる。

最後に $c\ne\pm1$ とする。もし $k>\ell$ に対し $c^{k-1}=c^{\ell-1}$ なら、$c\ne0$ より $c^{k-\ell}=1$。実数 $c$ の正整数乗が $1$ となるのは $c=1$ または $c=-1$ の場合だけなので矛盾する。よって奇数乗だけでも無限個の相異なる行列があり、いずれの場合も $S$ の要素数は3ではない。