5宮崎大学 2023年 数学 第5問解答・解説

(1) 左辺で$x=1/t$と置換する。$dx=-dt/t^2$と積分端の交換から $$\displaystyle \int_{1/a}^a\frac{f(x)}{1+x^2}\,dx=\int_a^{1/a}\frac{f(1/t)}{1+t^{-2}}\frac{-dt}{t^2}=\int_{1/a}^a\frac{f(1/t)}{1+t^2}\,dt.$$ (2) 被積分関数は$1/x-x/(1+x^2)+1/(1+x^2)$である。前2項の積分は $$\displaystyle \left[\log x-\tfrac12\log(1+x^2)\right]_{1/\sqrt3}^{\sqrt3}=\tfrac12\log3.$$ 最後の項では$x=\tan\theta$と置けば，$\theta$は$\pi/6$から$\pi/3$まで動き，積分値は$\pi/6$。よって$\displaystyle I=\frac12\log3+\frac\pi6$。 (3) $$\displaystyle g'(x)=\frac{1+x^2-2x^2\log x}{x(1+x^2)^2}.$$ $0<x\le\sqrt e$では$2\log x\le1$より分子は1以上，分母は正だから$g'(x)>0$。従ってつねに増加する。 (4) $g$は$x<1$で負，$x>1$で正である。(1)に$a=\sqrt e,f(x)=\log x$を用いると，積分値は自分自身の負に等しいから0である。従って $$\displaystyle -S_1+S_2=\int_{1/\sqrt e}^{\sqrt e}g(x)\,dx=0,\quad S_1=S_2.$$