4宮崎大学 2023年 数学 第4問解答・解説

$C_n$ と直線 $L_{k,n}$ の交点は、円の半径が $1/n$、直線が原点を通り方向角が $\theta_k(n)$ なので $$\displaystyle \left(\frac{\cos\theta_k(n)}n,\frac{\sin\theta_k(n)}n\right),\qquad \left(-\frac{\cos\theta_k(n)}n,-\frac{\sin\theta_k(n)}n\right).$$ $n\ge k$ なら $0\le\theta_k(n)<\pi/2$ で $\cos\theta_k(n)>0$。したがって $$\displaystyle x_k(n)=\frac{\cos\theta_k(n)}n=\frac1n\sin\frac{k\pi}{2n}.$$ よって $$\displaystyle A_1(1)=x_1(2)=\frac{\sqrt2}{4},\qquad A_2(1)=x_1(3)=\frac16,$$ なので $\text{あ}=\sqrt2,\ \text{い}=1$。

$B_N$ の和で $n=k+t$ と置き直すと $$\displaystyle B_N=\sum\limits _{n=1}^{N}\sum\limits _{k=1}^{n}x_k(n).$$ ゆえに $$\displaystyle B_N-B_{N-1}=\sum\limits _{k=1}^{N}x_k(N) =\frac1N\sum\limits _{k=1}^{N}\sin\frac{k\pi}{2N},$$ したがって空欄 $\text{お}$ は $\displaystyle \sin\frac{k\pi}{2N}$ である。特に $$\displaystyle B_2-B_1=\frac{\sqrt2+2}{4},\qquad B_3-B_2=\frac{3+\sqrt3}{6},$$ ゆえに $\text{う}=2+\sqrt2,\ \text{え}=3+\sqrt3$。

最後に $$\displaystyle \lim\limits _{N\to\infty}(B_N-B_{N-1}) =\lim\limits _{N\to\infty}\frac1N\sum\limits _{k=1}^{N}\sin\left(\frac{\pi}{2}\frac{k}{N}\right) =\int_0^1\sin\frac{\pi x}{2}\,dx =\frac2\pi.$$

直線と円の交点を半径方向で表し、n≧kでは余弦が正であることから大きい方のx座標を決めます。$B_N$はn=k+tと置き換えると三角形状の和になり、差を取ると第N列だけが残ります。最後は連続関数のリーマン和の極限です。