7信州大学 2021年 数学 第7問解答・解説

問題と出典 `MM-6c5460118df0-Q7`。固定PDF p.16を目視確認した。全実数a,bについて $f(a+b)=f(a)+f(b)+4ab$、さらに $f$ は0で微分可能で $f'(0)=2$。3問はf(0)、全実数での微分可能性とf、$\displaystyle g(x)=\int_1^x dt/f(t)$ ($x>1$) の極限を求める。

解答 (a=b=0) を代入すると $f(0)=2f(0)$ より $f(0)=0$。(2) $h\ne0$ として $$\displaystyle \frac{f(x+h)-f(x)}h=\frac{f(h)}h+4x.$$ $h\to0$ で右辺は $f'(0)+4x=2+4x$ に収束するため、fは各xで微分可能で $f'(x)=2+4x$。よって $f(x)=2x^2+2x+C$ で、$f(0)=0$ よりC=0。 (3) $t>1$ では $f(t)=2t(t+1)>0$。部分分数分解から $$\displaystyle g(x)=\frac12\int_1^x\left(\frac1t-\frac1{t+1}\right)dt =\frac12\log\frac{2x}{x+1}\longrightarrow\frac12\log2.$$

編集ラベル - 単元: 数学II・微分積分、数学III・積分法 - 方法: 差商、微分積分の基本定理、部分分数分解 - テーマ: 加法型関数方程式からの関数決定と広義極限