4信州大学 2021年 数学 第4問解答・解説

内分点の位置ベクトルは $$\displaystyle \overrightarrow{OP}=\frac{\overrightarrow a}{3},\quad \overrightarrow{OQ}=\frac{\overrightarrow b}{3},\quad \overrightarrow{OR}=\frac{\overrightarrow c}{3},$$ $$\displaystyle \overrightarrow{OD}=\frac{\overrightarrow b+2\overrightarrow c}{3},\quad \overrightarrow{OE}=\frac{\overrightarrow a+2\overrightarrow c}{3},\quad \overrightarrow{OF}=\frac{\overrightarrow a+2\overrightarrow b}{3}$$ である。

(1) $$\displaystyle \overrightarrow{PQ}=\frac{\overrightarrow b-\overrightarrow a}{3} =\overrightarrow{ED},\qquad \overrightarrow{QD}=\frac{2\overrightarrow c}{3} =\overrightarrow{PE}.$$ よって四角形 $PQDE$ は平行四辺形であり、$P,Q,D,E$ は同一平面上にある。

(2) 四面体 $OABC$ は非退化なので $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ は一次独立である。平面 $PQDE$ 上の点 $X$ は、ある実数 $\lambda,\mu$ を用いて $$\displaystyle \overrightarrow{OX} =\overrightarrow{OP}+\lambda\overrightarrow{PQ}+\mu\overrightarrow{PE} =\frac{1-\lambda}{3}\overrightarrow a +\frac{\lambda}{3}\overrightarrow b +\frac{2\mu}{3}\overrightarrow c$$ と表せる。したがって $\overrightarrow{OX}$ を $\overrightarrow a,\overrightarrow b,\overrightarrow c$ の一次結合で表したとき、$\overrightarrow a,\overrightarrow b$ の係数の和は $1/3$ である。

直線 $FR$ 上の点 $S$ を実数 $t$ により $$\displaystyle \overrightarrow{OS}=(1-t)\overrightarrow{OF}+t\overrightarrow{OR} =\frac{1-t}{3}\overrightarrow a +\frac{2(1-t)}{3}\overrightarrow b +\frac{t}{3}\overrightarrow c$$ とおく。これが平面 $PQDE$ 上にある条件は $$\displaystyle \frac{1-t}{3}+\frac{2(1-t)}{3}=\frac13,$$ ゆえに $t=2/3$。したがって $$\displaystyle \overrightarrow{OS} =\frac19\overrightarrow a+\frac29\overrightarrow b+\frac29\overrightarrow c =\frac19\left(\overrightarrow a+2\overrightarrow b+2\overrightarrow c\right).$$