2山形大学 2021年 数学 第2問解答・解説

(1) $\vec{OA}=\mathbf a,\vec{OB}=\mathbf b,\vec{OC}=\mathbf c$ とおく。内分点の位置ベクトルは $$\vec{OP}=(1-t)\mathbf a+t\mathbf b,\quad \vec{OQ}=t\mathbf b,\quad \vec{OR}=t\mathbf c,\quad \vec{OS}=(1-t)\mathbf a+t\mathbf c.$$

(2) これらを引き算すると $$\vec{PS}=\vec{OS}-\vec{OP}=t(\mathbf c-\mathbf b)=\vec{OR}-\vec{OQ}=\vec{QR},$$ また $$\vec{PQ}=\vec{OQ}-\vec{OP}=-(1-t)\mathbf a=\vec{OR}-\vec{OS}=\vec{SR}.$$

(3) 正四面体の辺長が $1$ であるから、$|\mathbf a|=|\mathbf b|=|\mathbf c|=1$。例えば $|\mathbf a-\mathbf b|=1$ より $\mathbf a\cdot\mathbf b=1/2$ であり、同様に $\mathbf a\cdot\mathbf c=1/2$。したがって $$\displaystyle \vec{PQ}\cdot\vec{QR}=-(1-t)t\,\mathbf a\cdot(\mathbf c-\mathbf b) =-(1-t)t\left(\frac12-\frac12\right)=0.$$ $0<t<1$ より両ベクトルは零でないので、なす角は $90^\circ$。

(4) (2)から $PQRS$ は平行四辺形で、(3)から隣り合う辺 $PQ,QR$ は垂直である。さらに $$|\vec{PQ}|=1-t,\qquad |\vec{QR}|=t|\mathbf c-\mathbf b|=t$$ なので $$\displaystyle [PQRS]=|\vec{PQ}|\,|\vec{QR}|=t(1-t)=\frac14-\left(t-\frac12\right)^2\le\frac14.$$ 等号は $\displaystyle t=\frac12$ のとき成立し、最大値は $\displaystyle \frac14$。