3信州大学 2021年 数学 第3問解答・解説

$2$ の札が出た回数を $p$ とすると、$3$ の札は $n-p$ 回出る。従って $$A_n=2^p3^{n-p}.$$

(1) $n\ge3$ のもとで場合分けする。$p=0$ なら $A_n=3^n$ は $12$ で割った余りが $3$ または $9$ である。$p=1$ なら $n-1\ge2$ なので $3^{n-1}\equiv3\pmod6$。よって $A_n=2\cdot3^{n-1}\equiv6\pmod{12}$。$2\le p\le n-1$ なら $A_n$ は $2^2\cdot3=12$ の倍数である。最後に $p=n$ なら $A_n=2^n$ で、$n\ge3$ に対して $12$ で割った余りは $8$ または $4$ である。従って $$r_n=6\text{ であるための必要十分条件は }p=1.$$

(2) 各試行は復元抽出なので独立であり、$2$ の札が出る確率は $1/3$、$3$ の札が出る確率は $2/3$ である。$p=1$ となるには、$n$ 回のうち一回だけ $2$ が出る。その位置の選び方は $n$ 通りだから $$\displaystyle \Pr(r_n=6)=\Pr(p=1)=\binom n1\frac13\left(\frac23\right)^{n-1} =\frac{n2^{n-1}}{3^n}.$$

(3) (1) より $r_n=0$ となるのは $2\le p\le n-1$ の場合である。これは $p=0,1,n$ の場合を除いた事象なので、余事象を用いると $$\displaystyle \begin{aligned} \Pr(r_n=0) &=1-\Pr(p=0)-\Pr(p=1)-\Pr(p=n)\\ &=1-\left(\frac23\right)^n -\binom n1\frac13\left(\frac23\right)^{n-1} -\left(\frac13\right)^n\\ &=1-\frac{2^n+n2^{n-1}+1}{3^n}. \end{aligned}$$