4高知大学 2020年 数学 第4問解答・解説

まず $f(x)$ を因数分解する。 $$f(x)=x^4-4x^3+5x^2-2x=x\left(x^3-4x^2+5x-2\right).$$ $x^3-4x^2+5x-2$ に $x=1$ を代入すると $1-4+5-2=0$ となるので、因数定理より $x-1$ を因数に持つ。実際に割ると $$x^3-4x^2+5x-2=(x-1)\left(x^2-3x+2\right)=(x-1)(x-1)(x-2)=(x-1)^2(x-2)$$ であるから、 $$f(x)=x(x-1)^2(x-2)$$ を得る。以下、この因数分解を用いる。

agraph{(1)} $$\displaystyle \lim\limits _{x\to0}\frac{x}{f(x)}=\lim\limits _{x\to0}\frac{x}{x(x-1)^2(x-2)}=\lim\limits _{x\to0}\frac{1}{(x-1)^2(x-2)}=\frac{1}{(-1)^2\cdot(-2)}=-\frac12.$$ $$\displaystyle \lim\limits _{x\to2}\frac{x-2}{f(x)}=\lim\limits _{x\to2}\frac{x-2}{x(x-1)^2(x-2)}=\lim\limits _{x\to2}\frac{1}{x(x-1)^2}=\frac{1}{2\cdot1^2}=\frac12.$$ （いずれも $x\to0$、$x\to2$ で分子・分母が同時に $0$ に近づく不定形であるが、共通因数 $x$、$x-2$ を約分すると連続関数になり、その値として極限が定まる。）

agraph{(2)} 与式の両辺に $f(x)=x(x-1)^2(x-2)$ を掛けると、$x$ についての恒等式 $$1=a(x-1)^2(x-2)+bx(x-1)^2+cx(x-1)(x-2)+dx(x-2)$$ を得る。これがすべての $x$ で成り立つ条件から $a,b,c,d$ を定める。

$x=0$ を代入すると $1=a\cdot1\cdot(-2)$ より $\displaystyle a=-\dfrac12$。

$x=2$ を代入すると $1=b\cdot2\cdot1$ より $\displaystyle b=\dfrac12$。

$x=1$ を代入すると $1=d\cdot1\cdot(-1)$ より $d=-1$。

残る $c$ を定めるため、右辺を展開して $x^3$ の係数を比較する。右辺の $x^3$ の係数は $a+b+c$ であり、左辺は定数 $1$（$x^3$ の係数は $0$）であるから $$\displaystyle a+b+c=0\ \quad\text{ならば}\quad\ -\frac12+\frac12+c=0\ \quad\text{ならば}\quad\ c=0.$$ （$x^2,x^1,x^0$ の係数を比較しても矛盾なく成り立つことを確認できる。）

よって $$\displaystyle a=-\frac12,\quad b=\frac12,\quad c=0,\quad d=-1.$$

検算：$x=3$ とすると $f(3)=3\cdot2^2\cdot1=12$ より左辺 $\displaystyle =\dfrac1{12}$。右辺 $\displaystyle =-\dfrac16+\dfrac12+0-\dfrac14=\dfrac1{12}$ となり一致する。

agraph{(3)} (2)の結果（$c=0$）より $$\displaystyle \frac{1}{f(x)}=-\frac{1}{2x}+\frac{1}{2(x-2)}-\frac{1}{(x-1)^2}.$$ $t\geq3$ のとき積分する範囲 $3\le x\le t$ では常に $x>2$ であるから $x>0,\ x-2>0,\ x-1>0$ となり、絶対値を気にせず対数が扱える。不定積分は $$\displaystyle \int\frac{1}{f(x)}\,dx=-\frac12\log x+\frac12\log(x-2)+\frac{1}{x-1}+C$$ である（最後の項は $\displaystyle\int\left(-\frac{1}{(x-1)^2}\right)dx=\frac{1}{x-1}$ による）。よって $$\displaystyle \int_3^t\frac{1}{f(x)}\,dx =\left[-\frac12\log x+\frac12\log(x-2)+\frac1{x-1}\right]_3^t$$ $$\displaystyle =\left(-\frac12\log t+\frac12\log(t-2)+\frac1{t-1}\right)-\left(-\frac12\log3+\frac12\log1+\frac12\right) =\frac12\log\frac{3(t-2)}{t}+\frac1{t-1}-\frac12.$$ すなわち $$\displaystyle \int_3^t\frac{1}{f(x)}\,dx=\frac12\log\frac{3(t-2)}{t}+\frac{1}{t-1}-\frac12\qquad(t\geq3).$$

検算：$t=3$ を代入すると $\displaystyle \dfrac12\log1+\dfrac12-\dfrac12=0$ となり、積分区間の幅が $0$ であることと整合する。

agraph{(4)} $\displaystyle F(t)=\displaystyle\int_3^t\frac{1}{f(x)}\,dx$ とおくと、微積分の基本定理より $$\displaystyle F'(t)=\frac{1}{f(t)}=\frac{1}{t(t-1)^2(t-2)}.$$ $3\leq t\leq5$ の範囲では $t>0,\ (t-1)^2>0,\ t-2>0$ であるから $f(t)>0$、したがって常に $F'(t)>0$ が成り立つ。よって $F(t)$ は$3\le t\le5$ の範囲で単調増加であり、最大値は右端 $t=5$ で取る。

(3)の結果に $t=5$ を代入すると $$\displaystyle F(5)=\frac12\log\frac{3\cdot3}{5}+\frac1{5-1}-\frac12=\frac12\log\frac95-\frac14.$$

よって $F(t)$（$3\leq t\leq5$）の最大値は $$\displaystyle \frac12\log\frac95-\frac14$$ であり、これは $t=5$ で達成される。

検算：$\log(9/5)=\log1.8\approx0.5878$ より $F(5)\approx0.2939-0.25=0.0439>0=F(3)$ となり、単調増加という結論と整合する。