高知大学 2020年数学第1問解答・解説

数列数学と人間の活動（整数）

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1問題

高知大学2020年度第1問

数列 $\{a_n\}$ は $a_1$ が正の整数で、公比が1でない正の実数であるような等比数列とする。数列 $\{b_n\}$ は $b_1$ が整数で、公差が整数であるような等差数列とする。このとき、次の問いに答えよ。

（100点）

(1) 数列 $\{a_n\}$ の各項は整数とする。数列 $\{b_n\}$ は $b_1=8$ であり、公差は10とする。 $a_5=b_5$ であるとき、数列 $\{a_n\}$ の一般項を求めよ。

(2) $a_1=27$ であり、数列 $\{a_n\}$ の公比は1より小さいとする。また、 $a_1>b_1>0$ と $a_3=b_3$ を満たすとする。このとき、数列 $\{b_n\}$ の公差が最大となる場合の数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ の一般項の組をすべて求めよ。

(3) 数列 $\{a_n\}$ の公比は1より大きいとする。また、 $a_2=b_2$ と $a_4=b_4$ を満たすとする。このとき、数列 $\{b_n\}$ の公差が最小となる場合の数列 $\{a_n\}$ と数列 $\{b_n\}$ それぞれの一般項を求めよ。

まずは自分で解いてみましょう。詰まったら「考え方」、解けたら「答え」で確かめられます。

2答え

答えを見る自分の答えと照らし合わせる

(1) $a_n=3\cdot2^{n-1}$
(2) (a_n, b_n) の組は次の2通りがすべてである。
① $\displaystyle a_n=27\cdot\left(\frac{5\sqrt3}{9}\right)^{n-1}$ , $b_n=12n-11$
② $\displaystyle a_n=27\cdot\left(\frac{\sqrt{78}}{9}\right)^{n-1}$ , $b_n=12n-10$
(3) $a_n=2^{n-1}$ , $b_n=3n-4$

3解答

解答を見る途中式つきの解答

原文の全条件を確認。 (1) b5=48=a5。全a_nが正整数なので有理公比p/qの既約表示でq^{n−1}|a1が全nで成立し、q=1。よってr≧2整数、r⁴|48からr=2,a1=3。 (2) a3=b3整数で1≦a3≦26、1≦b1≦26。同じ偶奇が必要なd=(a3−b1)/2の最大は差24、可能組(25,1),(26,2)でd=12、各公比と一般項も一致。 (3) r=p/q>1既約、a4=a1p³/q³整数よりa1=q³t。d=tp(p−q)(p+q)/2、最小因子積6は(p,q)=(2,1)のみでt=1からd=3,a_n=2^{n−1}, b_n=3n−4。各解の整数性・境界を確認。

この問題で使う考え方

等比・等差数列
既約分数と整除性
偶奇条件による最大化
整数因数の最小化

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