2浜松医科大学 2015年 数学 第2問解答・解説

(1) $1<\sqrt2<2$ より $$\displaystyle f(\sqrt2)=\frac1{\sqrt2-1}=\sqrt2+1.$$ また $2<\sqrt2+1<3$ で小数部分は再び $\sqrt2-1$ だから $$f(f(\sqrt2))=\sqrt2+1.$$

(2) $$\displaystyle f(\sqrt3)=\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2}.$$ この値は1より大きく2より小さく、小数部分が $\displaystyle \frac{\sqrt3-1}{2}$ なので $$f(f(\sqrt3))=\sqrt3+1.$$ さらに $2<\sqrt3+1<3$ より $$\displaystyle f(f(f(\sqrt3)))=\frac1{(\sqrt3+1)-2}=\frac1{\sqrt3-1}=\frac{\sqrt3+1}{2}.$$

(3) $t=x-n\ (0<t<1)$ とおくと $f(x)=1/t$。条件 $f(x)=x$ は $xt=1$、すなわち $x^2-nx-1=0$ と同値である。範囲に入る解は $$\displaystyle x=\frac{n+\sqrt{n^2+4}}2.$$

(4) $t=x-n$、$k=\lfloor f(x)\rfloor\ge1$ とし、$r=f(x)-k\ (0<r<1)$ とおく。$f(f(x))=x$ より $r=1/x$。したがって $$\displaystyle \frac1t=k+\frac1x\quad\text{すなわち}\quad kxt=n.$$ 各整数 $k\ge1$ について、関数 $k(n+t)t$ は $0<t<1$ で、$t$ が大きくなると値も必ず大きくなり、端点値は $0$ と $k(n+1)>n$ なので、方程式 $k(n+t)t=n$ は$0<t_k<1$ を満たすただ1つの $t_k$ をもつ。この $t_k$ では $1/t_k=k+1/(n+t_k)$ となるので、実際に $\lfloor f(x)\rfloor=k$ であり、解はすべて $k=1,2,\ldots$ に対応する。$k$ が大きいほど $n/k$ は小さくなるため $t_k$ は小さく、$x_k=n+t_k$ は $k=1,2,\ldots$ の順に大きい順で並ぶ。固定点条件 $f(x)=x$ は $xt=1$ であり、$kxt=n$ と合わせると $k=n$。よって固定点は $n$ 番目に現れる。

(1)(2) は各段階で床関数の値を区間から確定し、小数部分を取って逆数にする。(3) は $x=n+t$ とおくと二次方程式になり、正の解が $n<x<n+1$ にただ一つある。(4) は $f(x)$ の整数部分を $k$、小数部分を $r$ と置く。二重反復条件から $\displaystyle r=\frac1x$ が必要十分で、$kxt=n$ を得る。各 $k=1,2,\ldots$ に対して $t$ は一意に存在し、$k$ の増加とともに $t$ が減少するので、大きい順は $k=1,2,\ldots$ に対応する。固定点は $k=n$ のときだけである。