2筑波大学 2011年 数学 第2問解答・解説

(1) $\displaystyle G(u)=\int_0^u e^{-t^n}\,dt$ とおくと、$F_n(x)=G(2x)-G(x)$ である。微積分の基本定理と合成関数の微分より $$F_n'(x)=2e^{-(2x)^n}-e^{-x^n}=e^{-x^n}\left\{2e^{-(2^n-1)x^n}-1\right\}.$$ $x\ge 0$ において $e^{-x^n}>0$ であり、$2e^{-(2^n-1)x^n}-1$ は $x$ の増加とともに狭義に減少する。これは $x=0$ で $1$、$x\to\infty$ で $-1$ に近づくため、ただ1つの零点をもつ。したがって $F_n'$ はその零点の前で正、後で負となり、$F_n$ はその点でただ1つの最大値をとる。零点を $a_n$ とすると $$\displaystyle 2e^{-(2^n-1)a_n^n}=1\quad\text{すなわち}\quad a_n=\left(\frac{\log 2}{2^n-1}\right)^{1/n}.$$

(2) $2^n-1=2^n(1-2^{-n})$ より $$\displaystyle \log a_n=-\log 2+\frac{\log(\log 2)-\log(1-2^{-n})}{n}.$$ $2^{-n}\to0$ なので、対数関数の連続性から $\log(1-2^{-n})\to0$。分子の補正項は有限値に収束するため、これを $n$ で割った項は $0$ に収束する。よって $$\displaystyle \lim\limits _{n\to\infty}\log a_n=-\log 2.$$

微分すると$F_n'(x)=e^{-x^n}\left\{2e^{-(2^n-1)x^n}-1\right\}$となる。括弧内が一度だけ0を横切るので唯一の最大点は$\displaystyle a_n=\left(\frac{\log 2}{2^n-1}\right)^{1/n}$。対数を取り$2^n-1=2^n(1-2^{-n})$と分ければ、補正項は0に収束し極限は$-\log 2$。