III鳥取大学 2001年 数学 第III問解答・解説

(1) $a<\alpha<\beta<b$ を満たす任意の $\alpha,\beta$ をとる。$f$ は $\alpha\le x\le\beta$ の範囲で連続である。もし $f(\alpha)\le f(\beta)$ ならば $$\displaystyle \lambda=\frac{f(\beta)-f(\alpha)}{\beta-\alpha}\ge0$$ とおき、$h(x)=f(x)-\lambda x$ とする。このとき $h(\alpha)=h(\beta)$ である。

$h$ が定数ならば $f'(x)=\lambda\ge0$ となり、仮定に反する。$h$ が定数でなければ、連続性と最大・最小値の定理により、端点と異なる値をとる側に区間内部の最大値または最小値がある。そこで内部の極値をとる点を $\xi$ とする。微分係数の定義から、極大なら左右の差商がそれぞれ非正・非負、極小なら非負・非正となるため、微分可能な $h$ では $h'(\xi)=0$。したがって $$f'(\xi)=\lambda\ge0,$$ これも $f'(x)<0$ に反する。よって仮定 $f(\alpha)\le f(\beta)$ は誤りであり、$f(\alpha)>f(\beta)$。定義通り、$f$ は単調減少である。 (2) $$\displaystyle g(x)=\frac{\log k+\log x}{\log x} =1+\frac{\log k}{\log x},\qquad g'(x)=-\frac{\log k}{x(\log x)^2}<0\quad(x>1),$$ ここで $\log k>0$、$x>1$ なので分母は正である。(1)で示した結果を $x>1$ の範囲に適用すれば、任意の $1<x_1<x_2$ で $g(x_1)>g(x_2)$。したがって $g$ は $x>1$ で単調減少である。 (3) $ps=qr$ より $p/q=r/s=:k$。$p>q$ なので $k>1$。従って $p=kq,\ r=ks$ であり、 $$\log q\log r-\log p\log s =\log q(\log k+\log s)-(\log k+\log q)\log s =\log k(\log q-\log s)>0,$$ ここで $q>s>1$ と $k>1$ を用いた。ゆえに $\log p\log s<\log q\log r$。

(1)は平均値の定理を引用せず、反対を仮定して端点値が等しい補助関数を作り、その区間内部の極値で微分係数が0となることから矛盾を導きます。(2)は導関数の符号と(1)で示した結果を使います。(3)ではps=qrから共通比を作り、対数差を正の積へ整理します。