IV鳥取大学 2001年 数学 第IV問解答・解説

(1) 絶対値の中身の符号で分けると $$f(x)=\begin{cases}x^3-x&(|x|\ge1),\\x-x^3&(|x|\le1).\end{cases}$$ したがって外側では $f'(x)=3x^2-1>0$，内側では $f'(x)=1-3x^2$ である。左から順に，増加 $x<-1$，減少 $-1<x<-1/\sqrt3$，増加 $-1/\sqrt3<x<1/\sqrt3$，減少 $1/\sqrt3<x<1$，増加 $x>1$ となる。零点は $-1,0,1$，原点対称であり，$x\to\pm\infty$ で $f(x)\to\pm\infty$。これと以下の極値点を結ぶ概形は添付の graph.png のとおり。

(2) $x=\pm1$ では微分できないが，増減が切り替わるため極値をとる。極大値は $x=-1$ における $0$ と $x=1/\sqrt3$ における $2/(3\sqrt3)$。極小値は $x=-1/\sqrt3$ における $-2/(3\sqrt3)$ と $x=1$ における $0$。

(3) 原点近くでは $f(x)=x-x^3$ だから $f'(0)=1$。よって接線は $y=x$。

(4) 交点の $x$ 座標は $0,\pm\sqrt2$。原点対称なので右側の面積を2倍する。$0\le x\le\sqrt2$ では接線が上にあるから，求める面積は $$\displaystyle 2\left\{\int_0^1x^3\,dx+\int_1^{\sqrt2}(2x-x^3)\,dx\right\}=2\left(\frac14+\frac14\right)=1.$$