I鳥取大学 2001年 数学 第I問解答・解説

$$\displaystyle \begin{aligned}\overrightarrow{AB}&=(2-3,\,0-3)=(-1,-3).\\ \text{四角形 }ABCD\text{ は時計回りの正方形なので、}\overrightarrow{BC}\text{ は }\overrightarrow{AB}\text{ を時計回りに }90^\circ\text{ 回転したベクトルである。}\\ \overrightarrow{BC}&=(-3,1),\qquad C=B+\overrightarrow{BC}=(2,0)+(-3,1)=(-1,1).\\ \overrightarrow{CD}&=-\overrightarrow{AB}=(1,3),\qquad D=C+\overrightarrow{CD}=(-1,1)+(1,3)=(0,4).\\ \text{対角線 }AC\text{ の中点を円の中心 }S\text{ とすると、}\\ S&=\left(\frac{3+(-1)}2,\frac{3+1}2\right)=(1,2).\\ SA^2&=(3-1)^2+(3-2)^2=5\text{ より半径は }\sqrt5\text{ だから、円の方程式は }(x-1)^2+(y-2)^2=5.\\ \text{原点 }O\text{ について }OS=\sqrt5\text{ であり、}O\text{ はこの円周上にある。円周上の任意の点 }P\text{ に対して}\\ OP&\le OS+SP=\sqrt5+\sqrt5=2\sqrt5.\\ \text{等号は }\overrightarrow{SP}\text{ が }\overrightarrow{OS}\text{ と同じ向きのときに成立する。このとき }P=S+S=(2,4)\text{ であり、求める点である。}\end{aligned}$$